Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đưong phân giác BD. Biết AD-3 cm; DC= 5cm. Tỉnh độ dài các cạnh AB, BC?
Ta có \(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{3}{5}\) (t/c dg phân giác của tam giác)
Áp dụng định lý pytago, ta có:
BC2 - AB2 = AC2 = 64
Ta có: \(\frac{AB^2}{BC^2}=\frac{9}{25}\)(bình phương hai vế)
Ta có AB2=(64/16)x9=36\(\Rightarrow\)AB = 6 cm
BC2=( 64 /16 ) x 25 = 100\(\Rightarrow\)BC= 10 cm
⇒ đpcm
Bài 4: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho BM= BD, CN=CD. Chứng minh rằng: MN // BC?
Xét \(\Delta ABC\) ta có :
AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\) ( tính chất đường phân giác trong tam giác )
\(\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{NC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{NC}\)
Xét \(\Delta ABC\) có : \(\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{NC}\)
\(\Leftrightarrow MN//BC\) ( điịnh lí Ta - lét đảo )
⇒ đpcm
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB= 8cm; AC= 12cm; BC= 10cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác, G là trọng tâm tam giác ABC. a, CMR: IG//BC b, Tỉnh độ dài IG
a)
Gọi D là chân đường phân giác của \(\widehat{A}\) trong \(\Delta ABC\):
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{DB}{DB+DC}=\frac{2}{2+3}\Leftrightarrow\frac{DB}{BC}=\frac{2}{5}\Rightarrow DB=\frac{2}{5}.BC=\frac{2}{5}.10=4cm\)
Ta có: BI là tia phân giác của \(\widehat{B}\).
\(\Rightarrow\frac{IA}{ID}=\frac{BA}{BD}=\frac{8}{4}=2\)
\(\Rightarrow\frac{IA}{IA+ID}=\frac{2}{2+1}\Leftrightarrow\frac{IA}{AD}=\frac{2}{3}\)
Gọi \(AG\cap BC=\left\{M\right\}\). Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên:
\(\Rightarrow\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\)
Ta có: \(\frac{AG}{AM}=\frac{AI}{AD}=\frac{2}{3}\) (cmt)
Xét \(\Delta ADM\) có: \(\frac{AG}{AM}=\frac{AI}{AD}=\frac{2}{3}\) nên:
⇒ IG//DM hay \(IG//BC\left(đpcm\right)\) (đ/ly Thales đảo)
b) Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(M\) là trung điểm của \(BC\)
\(\Rightarrow BM=CM=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5cm\)
\(\Rightarrow DM=BM-BD=5-4=1cm\)
Xét \(\Delta ABC\) có: \(IG//DM\Rightarrow\frac{IG}{DM}=\frac{AI}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow IG=\frac{2}{3}DM=\frac{2}{3}.1=\frac{2}{3}\approx0,67cm\) ( để phân số thì hơn, nhưng có một vài lớp để xấp xỉ nên mình để 0,67 nhé)
⇒ đpcm
