Đáp án:
$\dfrac{3}{4} < \dfrac{{3 + {{10}^{2021}}}}{{4 + {{10}^{2021}}}}$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\dfrac{x}{y} - 1 = \dfrac{{x - y}}{y}$
Và: $\dfrac{{x + 2021}}{{y + 2021}} - 1 = \dfrac{{x - y}}{{y + 2021}}$
Lại có:
$x>y\ge 0\to x-y>0; y+2021>y>0$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{x - y}}{y} > \dfrac{{x - y}}{{y + 2021}}\\
\Rightarrow \dfrac{x}{y} - 1 > \dfrac{{x + 2021}}{{y + 2021}} - 1\\
\Rightarrow \dfrac{x}{y} > \dfrac{{x + 2021}}{{y + 2021}}
\end{array}$
b) Ta có:
$\dfrac{x}{y} - 1 = \dfrac{{x - y}}{y}$
Và: $\dfrac{{x + n}}{{y + n}} - 1 = \dfrac{{x - y}}{{y + n}}$
Lại có:
$x>y\ge 0\to x-y>0; y+n>y>0$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{x - y}}{y} > \dfrac{{x - y}}{{y + n}}\\
\Rightarrow \dfrac{x}{y} - 1 > \dfrac{{x + n}}{{y + n}} - 1\\
\Rightarrow \dfrac{x}{y} > \dfrac{{x + n}}{{y + n}}
\end{array}$
Như vậy:
Áp dụng câu $b$ cho số $x=4;y=3$ và $n=10^2021$ ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{4}{3} > \dfrac{{4 + {{10}^{2021}}}}{{3 + {{10}^{2021}}}}\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{\dfrac{4}{3}}} < \dfrac{1}{{\dfrac{{4 + {{10}^{2021}}}}{{3 + {{10}^{2021}}}}}}\\
\Rightarrow \dfrac{3}{4} < \dfrac{{3 + {{10}^{2021}}}}{{4 + {{10}^{2021}}}}
\end{array}$
Vậy $\dfrac{3}{4} < \dfrac{{3 + {{10}^{2021}}}}{{4 + {{10}^{2021}}}}$
