$\text{Đáp án + Giải thích các bước giải:}$
$\text{a) Xét tứ giác AMCK, có :}$
$\text{· I là trung điểm của AC (gt)}$
$\text{· I là trung điểm của MK (gt)}$
$\text{⇒ Tứ giác AMCK là hình bình hành }$
$\text{Ta có : ΔABC cân tại C (gt)}$
$\text{mà AM là đường trung tuyến của ΔABC (gt)}$
$\text{⇒ AM cũng là đường cao của ΔABC }$
$\text{⇒ AM ⊥ BC tại M}$
$\text{⇒ $\widehat{AMC}$ = $90^{o}$ }$
$\text{mà Tứ giác AMCK là hình bình hành (cmt)}$
$\text{⇒ Hình bình hành AMCK là hình chữ nhật}$
$\text{b) Ta có : AC = MK ( tính chất hình chữ nhật AMCK )}$
$\text{mà AB = AC ( 2 cạnh bên của ΔABC cân tại A )}$
$\text{⇒ AB = MK ( =AC )}$
$\text{c) Nếu tứ giác AMBK là hình vuông thì :}$
$\text{AM = MC ( 2 cạnh của hình vuông )}$
$\text{mà MC = $\dfrac{BC}{2}$ (gt)}$
$\text{⇒ AM = $\dfrac{BC}{2}$}$
$\text{⇒ ΔABC vuông tại A ( đường trung tuyến = nữa cạnh huyền )}$
$\text{mà ΔABC cân tại A}$
$\text{⇒ ΔABC vuông cân tại A}$
$\text{Bài tiếp theo :}$
$\text{Xét ΔABC cân tại A :}$
$\text{AH là đường cao}$
$\text{⇒ AH cũng là đường tiếp tuyến}$
$\text{⇒ AH =HC = $\dfrac{BC}{2}$ = $\dfrac{12}{2}$ = 6cm}$
$\text{Xét ΔABH vuông tại H:}$
$\text{AB² = AH² + BH² (Pyatago)}$
$\text{10² = AH² + 6² }$
$\text{AH² = 64}$
$\text{AH = 8cm}$
$\text{$S_{ABC}$ = $\dfrac{1}{2}$ AH . BC}$
$\text{= $\dfrac{1}{2}$ . 8 . 12}$
$\text{= 48 cm²}$
$\text{Xét tứ giác AEBH, có:}$
$\text{· M là trung điểm EH (gt)}$
$\text{· M là trung điểm AB (gt)}$
$\text{⇒ tứ giác AEBH là hình bình hành}$
$\text{mà $\widehat{AHB}$ = $90^{o}$ (gt)}$
$\text{⇒ hình bình hành AEBH là hình chữ nhật }$
