\(\begin{array}{l}
\quad f(x,y) = \dfrac{x^2 + y^2}{xy}\\
a)\quad \text{Ta có:}\\
+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{x^2 - y^2}{x^2y}\\
+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial y} = -\dfrac{x^2 - y^2}{xy^2}\\
\Rightarrow df = \dfrac{x^2 - y^2}{x^2y}dx - \dfrac{x^2 - y^2}{xy^2}dy\\
\text{Tại $(2;1)$ ta được:}\\
\quad df = \dfrac34dx - \dfrac32dy\\
b)\quad \text{Ta có:}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{2y}{x^3}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = - \dfrac{x^2 + y^2}{x^2y^2}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}= \dfrac{2x}{y^3}\\
\text{Tại $(2;1)$ ta được:}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} =\dfrac14\\
+)\quad \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = - \dfrac54\\
+)\quad \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}= 4\\
c)\quad \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y) = \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2 + y^2}{xy}\\
\text{Đặt}\ y = kx\ \ \text{ta được:}\\
\quad \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2 + k^2x^2}{kx^2}\\
= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+k^2}{k}\\
= \dfrac{1+k^2}{k}\\
\Rightarrow \text{Giới hạn phụ thuộc vào giá trị của $k$}\\
\text{Mỗi giá trị $k$ cho các giới hạn khác nhau}\\
\text{Do đó giới hạn đã cho không tồn tại}
\end{array}\)
