Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$4x^{3}+14x^{2}+9x-6=(x+2)(4x^{2}+6.x-3)$
gọi d là UCLN của (x+2) và $(4x^{2}+6.x-3)$
=> $x+2$ chia hết cho d
$4x^{2}+6.x-3$ chia hết cho d => $(4x^{2}+8x)-(2x+4)+1$ chia hết cho d
hay 1 chia hết cho d (Do $4x^{2}+8x=4x(x+2)$ chia hết cho d và (2x+4)=2(x+2) chia hết cho d )
=> d=1
=> $(x+2)$ và $(4x^{2}+6.x-3)$ là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> để $(x+2)(4x^{2}+6.x-3)$ là số chính phương => $(x+2)$ và $(4x^{2}+6.x-3)$ đều là số chính phương
vì $(4x^{2}+6.x-3)$ là số chính phương => $(4x^{2}+6.x-3)>=0$=> x>=1
lại có $(2x)^{2}<(4x^{2}+6.x-3)<(2x+2)^{2}$ (do x>=1, chứng minh bằng cách chứng minh hiệu >0)
=> $(4x^{2}+6.x-3)=(2x+1)^{2}$(do $(4x^{2}+6.x-3)$ là số chính phương giữa 2 số chính phương)
=> $(4x^{2}+6.x-3)=4x^{2}+4x+1$
=> $2x=4$
=> x=2(chọn vì x+2 cũng là số chính phương)
vậy x=2
