$\lim\limits_{x\to 0}$ `{\sqrt{x^2+x+1}-1}/{3x}`
$=\lim\limits_{x\to 0}$ `{(\sqrt{x^2+x+1}-1)(\sqrt{x^2+x+1}+1)}/{3x(\sqrt{x^2+x+1}+1)}`
$=\lim\limits_{x\to 0}$ `{x^2+x+1-1}/{3x(\sqrt{x^2+x+1}+1)}`
$=\lim\limits_{x\to 0}$ `{x(x+1)}/{3x(\sqrt{x^2+x+1}+1)}`
$=\lim\limits_{x\to 0}$ `{x+1}/{3(\sqrt{x^2+x+1}+1)}`
`={0+1}/{3.(1+1)}=1/ 6`