Ta có:
$\sqrt{a²+1} = \sqrt{a²+ab+bc+ac} = \sqrt{a(a + b) + c(b + a)} = \sqrt{(a + c)(a + b)}$
Mà theo bất đẳng thức Cô - si, ta có: $\sqrt{(a + c)(a + b)} ≤ \frac{a+c + a+b}{2}$
Nên $\sqrt{a²+1} ≤ \frac{a+c + a+b}{2} = \frac{2a+b+c}{2}$
Chứng minh tương tự, ta được: $\sqrt{b²+1} ≤ \frac{2b+ a+ c}{2}$
$\sqrt{c²+1} ≤ \frac{2c + a + b}{2}$
Từ đó ta có: $\sqrt{a²+1} + \sqrt{b²+1} + \sqrt{c²+1} ≤ \frac{2a+b+c}{2} +\frac{2b+ a+ c}{2} + \frac{2c + a + b}{2}$
$⇔ \sqrt{a²+1} + \sqrt{b²+1} + \sqrt{c²+1} ≤ \frac{4(c + a + b)}{2}$
$⇔ \sqrt{a²+1} + \sqrt{b²+1} + \sqrt{c²+1} ≤ 2(a + b + c)$
Dấu "=" xảy ra khi: $a = b = c$
