$x^2+2(2m-1)x+3(m^2-1)=0$ (1)
a. $\Delta'=(2m-1)^2-1.3(m^2-1)$
$=4m^2-4m+4-3m^2+3$
$=m^2-4m+7$
Để phương trình (1) có nghiệm
$⇔\Delta'≥0$
$⇔m^2-4m+7≥0$
$⇔(m^2-4m+4)+3≥0$
$⇔(m-2)^2+3≥0$
Do $(m-2)^2+3≥3>0$ với mọi $m$
Nên phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của $m$.
b. Phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của $m$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=-2(2m-1)\\x_1.x_2=3(m^2-1)\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1+x_2=-4m+2\\x_1.x_2=3m^2-3\end{cases}$
$⇔\begin{cases}4m=2-(x_1+x_2)\\3m^2=x_1.x_2+3\end{cases}$
$⇔\begin{cases}m=\dfrac{2-(x_1+x_2)}{4}(*)\\m=\sqrt{\dfrac{x_1.x_2+3}{3}}(**)\end{cases}$
Từ $(*)$ và $(**)$
$⇒\dfrac{2-(x_1+x_2)}{4}=\sqrt{\dfrac{x_1.x_2+3}{3}}$
$⇔\dfrac{\sqrt{3}[2-(x_1+x_2)]}{4\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{x_1.x_2+3}}{4\sqrt{3}}$
$⇒2\sqrt{3}-\sqrt{3}(x_1+x_2)-4\sqrt{x_1.x_2+3}=0$
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ của phương trình không phụ thuộc vào $m$ là $2\sqrt{3}-\sqrt{3}(x_1+x_2)-4\sqrt{x_1.x_2+3}=0$.
