Lời giải.
`3.`
Xét phương trình `x^2-2(m-4)x+m^2-8=0` có:
`Δ'=[-(m-4)]^2-(m^2-8)=m^2-8m+16-m^2+8=-8m+24`
Để phương trình có hai nghiệm `x_1,x_2<=>Δ'≥0<=>-8m+24≥0<=>m≤3`
Theo hệ thức Vi-et ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2(m-4)=2m-8\\x_1.x_2=m^2-8 \end{cases}$
`a)` Ta có: `A=x_1+x_2-3x_1.x_2`
`A=2m-8-3(m^2-8)`
`A=2m-8-3m^2+24`
`A=-3m^2+2m+16`
`-3A=9m^2-6m-48`
`-3A=(9m^2-6m+1)-49`
`-3A=(3m-1)^2-49`
`3A=-(3m-1)^2+49`
Có `-(3m-1)^2≤0∀m=>3A=-(3m-1)^2+49≤49=>A≤49/3`
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `3m-1=0<=>m=1/3(tm)`
Vậy `maxA=49/3<=>m=1/3.`
`b)B=x_1^2+x_2^2-x_1.x_2`
`B=(x_1+x_2)^2-3x_1.x_2`
`B=(2m-8)^2-3(m^2-8)`
`B=m^2-32m+88`
(Đến đây không thể tìm được giá trị nhỏ nhất với `m≤3.`)
`4.`
`a)` Thay `m=2` vào `(1)` ta được:
`-x^2+2x+2+1=0`
`<=>-x^2+2x+3=0`
`<=>x^2-2x-3=0` `(2)`
Xét phương trình `(2)` có `Δ'=(-1)^2-(-3)=4>0=>` phương trình có hai nghiệm phân biệt:
`x_1={-(-1)+\sqrt{4}}/1=3`
`x_2={-(-1)-\sqrt{4}}/1=-1`
Vậy tập nghiệm của phương trình: `S={-1;3}.`
`b)` Xét phương trình `(1)` có `Δ'=1^2-(m+1).(-1)=m+2`
Để phương trình có hai nghiệm `x_1,x_2=>Δ'≥0<=>m≥-2`
Theo hệ thức Vi-et ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=-(m+1)\end{cases}$
Theo bài ra ta có phương trình: `x_1^2+x_2^2=(\sqrt{3})^2` (theo định lí $Pi-ta-go$)
`<=>x_1^2+x_2^2=3`
`<=>x_1^2+2x_1.x_2+x_2^2-2x_1.x_2=3`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=3`
`<=>2^2-2(-m-1)=3`
`<=>4+2m+2=3`
`<=>6+2m=3`
`<=>2m=3-6`
`<=>2m=-3`
`<=>m=-3/2(tmdk)`
Vậy `m=-3/2.`
`5.`
`a)` Xét phương trình `(1)` có `Δ=(-m)^2-4(m-2)=m^2-4m+8=(m^2-4m+4)+4=(m-2)^2+4`
Có: `(m-2)^2≥0∀m=>Δ=(m-2)^2+4≥4>0∀m`
`=>` phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của `m.`
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của `m.`
`b)` Theo hệ thức Vi-et ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=m-2\end{cases}$
Ta có: `{x_1^2-2}/{x_1-1} . {x_2^2-2}/{x_2-1}=4`
`<=>{(x_1^2-2)(x_2^2-2)}/{(x_1-1)(x_2-1)}=4`
`<=>{(x_1.x_2)^2-2(x_1^2+x_2^2)+4}/{x_1.x_2-(x_1+x_2)+1}=4`
Ta xét: `(x_1.x_2)^2-2(x_1^2+x_2^2)+4`
`=(x_1.x_2)^2-2[(x_1+x_2)^2-2(x_1.x_2)]+4`
`=(x_1.x_2)^2-2[(x_1+x_2)^2-2(x_1.x_2)]+4`
`=(m-2)^2-2[m^2-2(m-2)]+4`
`=m^2-4m+4-2m^2+4(m-2)+4`
`=m^2-4m+4-2m^2+4m-8+4`
`=-m^2.`
Lại có: `x_1.x_2-(x_1+x_2)+1=m-2-m+1=-1.`
`=>` ta có phương trình: `{-m^2}/{-1}=4`
`<=>m^2=4`
`<=>m=±2.`
Vậy `m=±2.`
