a)
Đường tròn $\left( O \right)$ có:
$CD$ là tiếp tuyến, $AC$ là dây cung
$\to \widehat{ACD}=\widehat{CMA}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )
$CD\,\,||\,\,MN\,\,\,\left( \,gt\, \right)$
$\to \widehat{ECD}=\widehat{CMA}$ ( hai góc so le trong )
$\to \widehat{ACD}=\widehat{ECD}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\,\,\,\,\,\,\widehat{ADC}=\widehat{EDC}$
Xét $\Delta ACD$ và $\Delta ECD$, ta có:
$\widehat{ACD}=\widehat{ECD}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$CD$ là cạnh chung
$\widehat{ADC}=\widehat{EDC}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to \Delta ACD=\Delta ECD\,\,\,\left( \,g\,.\,c\,.\,g\, \right)$
b)
Vì $\Delta ACD=\Delta ECD\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to\begin{cases}CA=CE\\DA=DE\end{cases}$ ( hai cạnh tương ứng )
$\to CD$ là đường trung trực của $AE$
$\to CD\bot AE$
Mà $CD\,\,||\,\,MN\,\,\,\left( \,gt\, \right)$
Vậy $AE\bot MN$
c)
$CD\,\,||\,\,MN\,\,\,\left( \,gt\, \right)$
$\to \,\,\,\,\widehat{ACD}=\widehat{CAM}$ ( hai góc so le trong )
Mà: $\widehat{ACD}=\widehat{CMA}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
Nên $\widehat{CAM}=\widehat{CMA}$
$\to \Delta CAM$ cân tại $C$
$\to CA=CM$
Mà $CA=CE\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to CM=CE$
$\to C$ là trung điểm $ME$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\,\,\,\,\,\,D$ là trung điểm $NE$
$\to CD$ là đường trung bình của $\Delta EMN$
$\to CD=\dfrac{1}{2}MN$
$\to CD=2MN$
$\Delta BCD$ có $CD\,\,||\,\,PQ$
Nên theo hệ quả của định lý Ta – let, ta có:
$\dfrac{BD}{BQ}=\dfrac{BC}{BP}=\dfrac{CD}{PQ}$
$\,\,\,\,\,\,\begin{cases}\dfrac{BD}{BQ}=\dfrac{CD}{PQ}\\\\\dfrac{BC}{BP}=\dfrac{CD}{PQ}\end{cases}$
Cộng vế theo vế, ta được:
$\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{BD}{BQ}\,\,+\,\,\dfrac{BC}{BP}\,\,=\,\,\dfrac{CD}{PQ}\,\,+\,\,\dfrac{CD}{PQ}$
$\to \dfrac{BD}{BQ}\,\,+\,\,\dfrac{BC}{BP}\,\,=\,\,\dfrac{2CD}{PQ}$
$\to \dfrac{BD}{BQ}\,\,+\,\,\dfrac{BC}{BP}\,\,=\,\,\dfrac{MN}{PQ}$
