Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có S.ABC là hình chóp tam giác đều
vậy tức là đường cao sẽ từ đỉnh S xuống tới tâm của đáy ABC
Gọi O là tâm của tam giác ABC
BO cắt AC tại H
Theo đề bài ta có:
$\widehat{[(SAC);(ABC)]}=\widehat{[SH;BH]}=\widehat{SHB}=60^o$
Gọi 2x là cạnh của tam giác ABC
Như vậy ta sẽ có:
$AB=BC=AC=2x$
Vậy ta có:
$AH=CH=x$
do hình chóp tam giác đều ta có:
$ΔSAC=ΔSAB=ΔSBC$ và là tam giác cân tại S
Như vậy ta có:
$SH⊥AC$
áp dụng pythagoras ta có:
$SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{4a^2-x^2}$
Do ABC là tam giác đều tâm O
Như vậy ta có:
$BH=x\sqrt3\\⇒OH=\frac{x\sqrt3}{3}$
áp dụng hệ thức lượng giác trong tam giác SHO⊥O ta có:
$cos(60)=\frac{OH}{SH}\\⇔SH=2OH\\⇔\sqrt{4a^2-x^2}=\frac{2x\sqrt3}{3}\\⇔12a^2-3x^2=4x^2\\⇔12a^2=7x^2\\⇔a\sqrt{\frac{12}{7}}=x$
vậy ta có:
$tan60=\frac{SO}{HO}\\⇔\frac{2a\sqrt7}{7}.\sqrt3 =SO\\⇔SO=\frac{2a\sqrt21}{7}$
Vậy ta có:
$AB=AC=BC=2a\sqrt{\frac{12}{7}}$
Như vậy ta có:
$S_{ABC}=\frac{12a^2}{\sqrt7}$
$⇒V_{S.ABC}=\frac13 .\frac{12a^2}{\sqrt7}.\frac{2a\sqrt21}{7}=\frac{8a^3\sqrt{147}}{49}$
#X
