Giải thích các bước giải:
$x^2-2(m+1)x+2m+10=0$
Xét $\Delta'=b'^2-ac$
$=[-(m+1)]^2-2m-10$
$=m^2+2m+1-2m-10$
$=m^2-9$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thì $\Delta'>0$
$⇔m^2-9>0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}m>3\\m<-3\end{array} \right.$
Theo Viète, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}x_1+x_2=2(m+1)\\x_1x_2=2m+10\end{array} \right.$
Theo bài ra, ta có:
$P=10x_1x_2+x_1^2+x_2^2$
$=(x_1+x_2)^2+8x_1x_2$
$=[2(m+1)]^2+8(2m+10)$
$=4m^2+8m+4+16m+80$
$=4m^2+24m+84$
$=4m^2+24m+36+48$
$=(2m+6)^2+48$
Ta có:
$(2m+6)^2≥0$ $∀m$
$⇒(2m+6)^2+48≥48$ $∀m$
Dấu "=" xảy ra khi:
$2m+6=0$
$⇔m=-3(tm)$
Vậy $P_\text{min}=48$ khi $m=-3$
