Đáp án:
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}` hoặc `x=y=z=\frac{-1}{\sqrt{3}}`
Giải thích các bước giải:
Với `a,b,c,x,y,z` là các số thực, ta có bất đẳng thức Bunhiacopxki
`(ax+by+cz)^2 <= (a^2 +b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)`
Dấu "=" xảy ra khi `x/a=y/b=z/c`
Theo đó thì ta thấy trong lời giải `(xy+yz+zx)^2<=(x^2+y^2+z)^2`
`a=y;b=z;x=x`
Dấu "=" xảy ra khi `x/a=y/b=z/c` tức là `x/y=y/z=z/x` `(1)`
Ở chỗ `=>1<=(x^2+y^2+z^2)^2` thì dấu "=" xảy ra khi `x^2+y^2+z^2=1` `(2)`
Tiếp tục ở đoạn áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thứ hai
`(x^4+y^4+z^4)(1^2+1^2+1^2)>=(x^2+y^2+z^2)^2`
thì `a=b=c=1;x=x^2;y=y^2;z=z^2`
Mà dấu "=" xảy ra khi `x/a=b/y=c/z` tức là
`x^2/1=y^2/1=z^2/1<=>x^2=y^2=z^2` `(3)`
Mặt khác theo giả thiết thì `xy+yz+zx=1` `(4)`
Từ `(1),(2),(3)` và `(4)`
`=>x^2=y^2=z^2=1/3`
`<=>x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}` hoặc `x=y=z=\frac{-1}{\sqrt{3}}`
