a) \((a+2b)^5=\sum\limits_{k=0}^5C_5^ka^{5-k}(2b)^k\)
\(=C_5^0a^5(2b)^0+C_5^1a^4(2b)^1+C_5^2a^3(2b)^2\)
\(+C_5^3a^2(2b)^3+C_5^4a^1(2b)^4+C_5^5a^0(2b)^5\)
\(=a^5+C_5^1a^4.2b+C_5^2a^3(2b)^2+C_5^3a^2(2b)^3\)
\(+C_5^4a(2b)^4+(2b)^5\).
b) \((a-\sqrt 2)^6=\sum\limits_{k=0}^6C_6^ka^{6-k}(-\sqrt2)^k\)
\(=\sum\limits_{k=0}^6C_6^ka^{6-k}(-1)^k(\sqrt2)^k\)
\(=C_6^0a^6(-1)^0(\sqrt2)^0+C_6^1a^5(-1)^1(\sqrt2)^1\)
\(+C_6^2a^4(-1)^2(\sqrt2)^2+C_6^3a^3(-1)^3(\sqrt2)^3\)
\(+C_6^4a^2(-1)^4(\sqrt2)^4+C_6^5a^1(-1)^5(\sqrt2)^5\)
\(+C_6^6a^0(-1)^6(\sqrt2)^6\)
\(=a^6-C_6^1a^5\sqrt2+C_6^2a^4.2-C_6^3a^3(\sqrt2)^3\)
\(+C_6^4a^2(\sqrt2)^4-C_6^5a^1(\sqrt2)^5+(\sqrt2)^6\).
c) \((x-\dfrac{1}{x})^{13}=\sum\limits_{k=0}^{13}C_{13}^kx^{13-k}(-\dfrac{1}{x})^k\)
\(=\sum\limits_{k=0}^{13}C_{13}^kx^{13-2k}(-1)^k\)
\(=C_{13}^0(x)^{13}(-1)^0+C_{13}^1(x)^{11}(-1)^1\)
\(+C_{13}^2(x)^{9}(-1)^2+C_{13}^3(x)^{7}(-1)^3\)
\(+C_{13}^4(x)^{5}(-1)^4+C_{13}^5(x)^{3}(-1)^5\)
\(+C_{13}^6(x)^{1}(-1)^6\)
\(=x^{13}-C_{13}^1(x)^{11}+C_{13}^2(x)^{9}-C_{13}^3(x)^{7}\)
\(+C_{13}^4(x)^{5}-C_{13}^5(x)^{3}+C_{13}^6.x\).
