1) BE, CF là đường kính => góc BEC = góc BFC = $90^{0}$
Xét tứ giác BCEF có góc BEC = góc BFC (cmt)
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh BC
=> BCEF là tứ giác nội tiếp. => B, C, E, F cùng nằm trên 1 đường tròn.
2) Xét ΔDHC ⊥ tại D và ΔDBA ⊥ tại D có: góc DCH = góc DAB (cùng phụ góc ABC)
=> ΔDHC ~ ΔDBA (g.g)
=> $\frac{DH}{DB}$ = $\frac{DC}{DA}$ => DH.DA=DC.DB
ΔABG nội tiếp (O) có AG là đường kính => ΔABG ⊥ tại B => AB⊥BG
Ta có: AB⊥FC (gt) ; AB⊥BG (cmt) => FC//BG (từ ⊥ -> //)
ΔACG nội tiếp (O) có AG là đường kính => ΔACG ⊥ tại C => AC⊥CG
Ta có: AC⊥BE (gt) ; AC⊥CG (cmt) => BE//CG (từ ⊥ -> //)
Xét tứ giác BHCG có FC//BG (cmt); BE//CG (cmt) => BHCG là HBH.
3) BHCG là HBH (cmt) có 2 đường chéo HG và BC cắt nhau tại I
Mà I là trung điểm BC (gt)
=> I là trung điểm HG
Xét ΔAHG có I là trung điểm HG ; O là trung điểm AG => IO là đường trung bình của ΔAHG => IO = $\frac{1}{2}$.AH
Mà O, BC cố định (gt)
=> OI cố định => AH=2OI không đổi
Áp dụng bđt Cosi, ta có:
$S_{ΔAEN}$ = $\frac{1}{2}$AE.EH $\leq$ $\frac{1}{4}$ $AE^{2}$ + $EH^{2}$= $\frac{1}{4}$ $AH^{2}$ = $OI^{2}$
Dấu "=" xảy ra khi AE=EH Khi ΔEAH cân tại E khi đó góc HAE = góc BCA = $45^{0}$
Như vậy, điểm A ∈ cung BC lớn và góc BCA = $45^{0}$ thì $S_{ΔAEN}$ đạt GTLN.
