Đáp án:
$y = \dfrac{xe^x}{x+1} + \dfrac{C_1}{x+1}$
Giải thích các bước giải:
$\quad y' + \dfrac{y}{x+1}= e^x\quad (*)$
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int-\dfrac{1}{x+1}dx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{-\ln(x+1)}$
$\Leftrightarrow y = C\cdot \dfrac{1}{x+1}$
Do đó nghiệm tổng quát của $(*)$ có dạng:
$\quad y = C(x)\cdot \dfrac{1}{x+1}$
$\Rightarrow y' = C'(x)\cdot\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{(x+1)^2}\cdot C(x)$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\quad C'(x)\cdot\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{(x+1)^2}\cdot C(x) + \dfrac{1}{x+1}\cdot C(x)\cdot \dfrac{1}{x+1} = e^{x}$
$\Leftrightarrow C'(x)= e^x(x+1)$
$\Leftrightarrow C(x)= xe^x + C_1$
Vậy phương trình có nghiệm: $y = \dfrac{xe^x}{x+1} + \dfrac{C_1}{x+1}$
