Giải thích các bước giải:

a,

Ta có:

\({m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m =  - 3
\end{array} \right.\)

Với \(m = 1\) thì phương trình đã cho trở thành: \(1 = 0\,\,\,\,\left( {vn} \right)\)

Với \(m = -3\) thì phương trình đã cho trở thành:

\( - 2.\left( { - 3 - 1} \right)x + 1 = 0 \Leftrightarrow 8x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{8}\,\,\,\left( {t/m} \right)\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 3\\
m \ne 1
\end{array} \right.\) thì phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2m - 3} \right).1 \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right).\left[ {\left( {m - 1} \right) - \left( {m + 3} \right)} \right] \ge 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right).\left( { - 4} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow m - 1 \le 0\\
 \Leftrightarrow m \le 1
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(m < 1\)

b,

Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi: \(m \ge 1\)

c,

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
m \ne  - 3
\end{array} \right.\)

Khi đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2.\left( {m - 1} \right)}}{{{m^2} + 2m - 3}} = \dfrac{2}{{m + 3}}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{{{m^2} + 2m - 3}}
\end{array} \right.\)

Phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt khi:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}.{x_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{2}{{m + 3}} > 0\\
\dfrac{1}{{{m^2} + 2m - 3}} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 3 > 0\\
{m^2} + 2m - 3 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m >  - 3\\
\left( {m + 3} \right)\left( {m - 1} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m >  - 3\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m <  - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1
\end{array}\)

Kết hợp điều kiện có 2 nghiệm phân biệt ta thấy không tồn tại giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt.

d,

Phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
m \ne  - 3\\
{x_1} + {x_2} < 0\\
{x_1}{x_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
m \ne  - 3\\
\dfrac{2}{{m + 3}} < 0\\
\dfrac{1}{{{m^2} + 2m - 3}} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
m \ne  - 3\\
m + 3 < 0\\
{m^2} + 2m - 3 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
m \ne  - 3\\
m <  - 3\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m <  - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - 3
\end{array}\)

Vậy \(m <  - 3\) thì phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt.