`a)` Vì $ME\perp BC$ tại $E$ (gt)
`=>\hat{MEC}=\hat{MEB}=90°`
Vì $MF\perp AC$ tại $F$ (gt)
`=>\hat{MFC}=90°`
`=>\hat{MEC}=\hat{MFC}=90°`
`=>` Hai đỉnh $E;F$ cùng nhìn cạnh $MC$ dưới góc vuông
`=>MEFC` nội tiếp
$\\$
Vì $MD\perp AB$ tại $D$ (gt)
`=>\hat{MDB}=90°`
`=>\hat{MDB}+\hat{MEB}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{MDB};\hat{MEB}` ở vị trí đối nhau
`=>MDBE` nội tiếp
$\\$
`b)` $MDBE$ nội tiếp (c/m trên)
`=>\hat{MED}=\hat{MBD}` (cùng chắn cung $MD$)
$\quad ABMC$ nội tiếp $(O))$
`=>\hat{MBD}=\hat{ACM}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
`=>\hat{MBD}=\hat{MED}=\hat{ACM}=\hat{FCM}`
$\\$
$\quad MEFC$ nội tiếp (c/m trên)
`=>\hat{FCM}+\hat{MEF}=180°` (tổng hai góc đối)
$\\$
`=>\hat{MED}+\hat{MEF}=180°`
`=>\hat{DEF}=180°`
`=>D;E;F` thẳng hàng
$\\$
Xét $∆MDB$ và $∆MFC$ có:
`\qquad \hat{MDB}=\hat{MFC}=90°`
`\qquad \hat{MBD}=\hat{MCF}` (c/m trên)
`=>∆MDB∽∆MCF` (g-g)
`=>{MD}/{MC}={MB}/{MF}`
`=>MD.MF=MB.MC`
