Đáp án:
a) $(x; y) = (-1; 0);(-1;-1); (1; 0); (1; -1); (- 1; 1);(1; 1); (-5;2); (5; 2)$
b) PT không có nghiệm nguyên
Giải thích các bước giải:
a) $HPT$ tương đương:
$(\sqrt[]{x² + 3} + x)(\sqrt[]{4y² + 4y + 4} + 2y + 1) = 3 (1)$
$(x² - 1)(x² - 16y + 7) = 0 (2)$
Chú ý :
$ 3 = (\sqrt[]{x² + 3} - x)(\sqrt[]{x² + 3} + x) (3)$
$ 3 = (\sqrt[]{4y² + 4y + 4} - 2y - 1)(\sqrt[]{4y² + 4y + 4} + 2y + 1) (4)$
Lần lượt thay $3$ từ $(3);(4)$ vào $VP (1)$ giản ước ta được :
$\sqrt[]{x² + 3} - x = \sqrt[]{4y² + 4y + 4} + 2y + 1 (5)$
$\sqrt[]{x² + 3} + x = \sqrt[]{4y² + 4y + 4} - 2y - 1 (6)$
$(5) + (6)$ vế với vế $ ⇒ \sqrt[]{x² + 3} = \sqrt[]{4y² + 4y + 4} (7)$
Từ $(2)$ :
@ Nếu $x² - 1 = 0 ⇔ x² = 1$ thay vào $(7)$ :
$ \sqrt[]{4y² + 4y + 4} = 2 $
$ ⇔ y² + y + 1 = 1 ⇔ y(y + 1) = 0 ⇔ y = 0; y = - 1$
@ Nếu $x² - 16y + 7 = 0 ⇔ x² + 3 = 16y - 4 $ thay vào $(7)$ :
$ \sqrt[]{4y² + 4y + 4} = \sqrt[]{16y - 4}$
$ ⇔ y² + y + 1 = 4y - 1 ⇔ y² - 3y + 2 = 0$
$ ⇔ y = 1 (⇒ x = ± 1); y = 2 (⇒x = ± 5)$
b) Đặt $ t = \sqrt[]{9x² + 16x + 96} > 0$ thay vào PT:
$t + 16y = 3x - 24 (*) $
$⇒ t² + 32ty + 256y² = 9x² - 144x + 576$ (bình phương (*))
$⇔ t² + 32ty + 256y² = (9x² + 16x + 96) + 160(3 - x)$
$⇔ 32ty + 256y² = 160(3 - x)$
$⇔ ty + 8y² = 5(3 - x)$ ( Từ $(*) ⇒ t = 3x - 16y - 24)$
$⇔ (3x - 16y - 24)y + 8y² = 5(3 - x)$
$⇔ (3y + 5)x = 8y² + 24y + 15 $
$⇔ x = \frac{8y² + 24y + 15}{3y + 5} = 3y + 3 - \frac{y²}{3y + 5}$
@ Nếu $y$ lẻ $⇒ y²$ lẻ ; $3y + 5$ chẵn $ ⇒ \frac{y²}{3y + 5}$ ko nguyên
@ Nếu $y$ chẵn $⇒ y²$ chẵn ; $3y + 5$ lẻ $ ⇒ \frac{y²}{3y + 5}$ ko nguyên
$⇒ y = 0 ⇒ x = 3 $
Vì có phép bình phương $(*)$ không tương đương nên thử lại vào $(*)$ ko thỏa
Vậy PT không có nghiệm nguyên
