Thế nào là đường trung trực ?

-Đường trung trực của mỗi cạnh của tam giác gọi là đường trung trực của tam giác. Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Trong tam giác vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.

Thế nào là đường trung tuyến ?

Trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến.

Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau.

Thế nào là đường cao ?

-Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.

-Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Thế nào là đường phân giác ?

Bài 1 :

a)Vì BM là tia phân giác góc ABC ⇒ góc ABM= góc CBM

Xét Δ ABN và Δ CBN ,ta có :

AB=CB ( ΔABC đều )

góc ABM= góc CBM hay góc ABN= góc CBN

BN là cạnh chung 

⇒Δ ABN = Δ CBN (c.g.c)

⇒AN = NC ( 2 cạnh tg ứng )

⇒Δ ANC cân tại N 

Vậy Δ ANC cân 

b)Vì Δ ABN = Δ CBN (cmt) ⇒ góc BAN = góc BCN ( 2 cạnh tg ứng )

 Mà NA ⊥ AB tại A (GT) ⇒ góc BAN = 90°

⇒ Góc BCN =  90°

⇒ NC ⊥ BC tại C 

Vậy NC ⊥ BC tại C

c)Xét ∆ABC đều

=> BAC = ACB = 60° (t/c tam giác đều)

Ta có: BAC + CAN = BAN = 90°

=> 60° + CAN = 90°

⇒ CAE = 30°

Ta có : ACB + ACE = 180° (kề bù)

⇒ACE = 180° - 2.30° = 180° - 60°

⇒∆ ACE cân tại C

⇒AC=CE (T/C)

mà AC =BC ( Δ ABC đều )

⇒CE = BC 

Vì NC ⊥ BC tại C (cmb) ⇒ Δ NCB vuông tại C 

                                          Δ NCE vuông tại C

Xét Δ NCB vuông tại C và Δ NCE vuông tại C , ta có 

BC = CE (cmt)

NC là cạnh chung 

⇒Δ NCB = Δ NCE ( 2 cạnh góc vuông )

⇒ BN = EN ( 2 cạnh tg ứng )

⇒ Δ BNE cân tại N (dhnb)

Vậy Δ BNE cân tại N

d) Ta có : NC ⊥ BC tại C (cmb)

               BC = CE (cmc)

⇒ NC là trung trực của BE.

Vậy NC là trung trực của BE.

e)Vì Δ ABC đều ⇒ AB=AC= BC 

Mà AB = 10 cm 

⇒BC = 10 cm

Mà BC =CE 

⇒ CE = BC + CE = 20 (cm )

góc BAN = 90° hay góc EAN = 90°⇒Δ BAE vuông tại A 

BE^2=AB^2+AE^2

AE^2=BE^2-AB^2

AE^2=20^2-10^2

AE^2=400-100

AE^2=300=30^2

AE=30 

Chu vi tam giác ABE là :

10+20+30=60(cm)

Bài 2 : Xin lỗi mk ko bik làm

Đường trung trực: Là đường trung trực của tam giác. Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác

Đường trung tuyến: Là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện.

Đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

Chứng minh tam giác cân:

- Tính chất: 

   + Tính chất 1: Trong tam giác cân, hai góc đáy bằng nhau.

   + Tính chất 2: Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

   + Tính chất 3: Trường hợp đặc biệt của tam giác cân:

Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.

- Cách chứng minh:

   + Cách 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau.

   + Cách 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.

__________________________________________________

`1.`

Vì tia BM là tia phân giác góc `\hat{ABC}`

`⇒ \hat{ABM} = \hat{CBM}`

Xét ΔABN và ΔCBN, ta có :

`@ AB=CB`

`@ \hat{ABM}=\hat{CBM}` hay `\hat{ABN}=\hat{CBN}`

Tia BN là cạnh chung 

`⇒ ΔABN = ΔCBN (c.g.c)`

`⇒AN = NC`

`⇒ΔANC` cân tại `N`

b) Vì `ΔABN = ΔCBN → \hat{BAN} = \hat{BCN}`

Mà `NA ⊥ AB` tại `A ⇒ \hat{BAN} = 90^@`

`⇒ \hat{ACN} = 90^@

`⇒ NC ⊥ BC tại C`

c)Xét `∆ABC` đều `→ BAC = ACB = 60^@` [t/c tam giác đều]

Ta có: \hat{BAC} + \hat{CAN} = \hat{BAN} = 90^@

`⇒ 60^@ + CAN = 90^@`

`⇒ \hat{CAE} = 30°^@`

Lại có: \hat{ACB} + \hat{ACE} = 180^@ [kề bù]

`⇒ \hat{ACE} = 180^@ - 2.30^@ = 180^@ - 60^@`

`⇒ ∆ACE` cân tại `C`

`⇒ AC=CE` 

Mà `AC =BC` (`ΔABC` đều) `→ CE = BC`

Vì `NC ⊥ BC` tại `C`

  → `ΔNCB` vuông tại `C`

  → `ΔNCE` vuông tại `C`

Xét `ΔNCB` vuông tại `C` và `ΔNCE` vuông tại `C`

Có: `BC = CE` (cmt)

`NC` là cạnh chung `→ ΔNCB = ΔNCE`

 `→ BN = EN`

 `→ ΔBNE` cân tại `N`

d) Ta có : `NC ⊥ BC` tại `C`

               `BC = CE`

`⇒ NC` là trung trực của `BE`

e) Vì `ΔABC` đều `→ AB=AC= B`C mà `AB = 10` cm 

`⇒ BC = 10` cm mà `BC =CE`

`⇔ CE = BC + CE = 20` cm

`\hat{BAN} = 90^@` → `ΔBAE` vuông tại `A`

      `⇒ BE^2=AB^2+AE^2`

      `⇒ AE^2=BE^2-AB^2`

      `⇒ AE^2=20^2-10^2`

      `⇒ AE^2=400-100`

      `⇒ AE^2=300=30^2`

      `⇒ AE=30`

 Chu vi tam giác ABE là :

    `10+20+30=60`(cm)

Vậy