Ta có: $AM+BM>AB$
$AM+CM>AC$
$BM+CM>BC$
$⇒2(AM+BM+CM)>AB+BC+AC$
$⇒\dfrac{MA+MB+MC}{AB+BC+AC}>\dfrac{1}{2}$ $(*)$
Ta có: $AM+BM<AC+BC$
$AM+CM<AB+CB$
$BM+CM<AB+AC$
$⇒2(MA+MB+MC)<2(AB+BC+AC)$
$⇒\dfrac{MA+MB+MC}{AB+BC+AC}<1$ $(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ $⇒\dfrac{1}{2}<\dfrac{MA+MB+MC}{AB+BC+AC}<1$ $(đpcm)$