\(\begin{array}{l}
\quad y = \dfrac{1}{x+2a}\qquad (a \in \Bbb R)\\
a)\quad y' = - \dfrac{1}{(x+2a)^2}\\
\quad y'' = \dfrac{2}{(x+2a)^3}\\
\quad y''' = - \dfrac{6}{(x+2a)^4}\\
b)\quad \text{Dự đoán đạo hàm cấp n của hàm số:}\\
\quad y^{(n)} = \dfrac{(-1)^n.n!}{(x+2a)^{n+1}}\\
\text{Chứng minh:}\\
+)\quad \text{Với $n= 1$ ta được:}\\
\quad y' = \dfrac{(-1).1!}{(x+2a)^2} = - \dfrac{1}{(x+2a)^2}\quad \text{(đúng)}\\
+)\quad \text{Giả sử công thức đúng với $n = k$}\\
\quad hay\ y^{(k)} = \dfrac{(-1)^k.k!}{(x+2a)^{k+1}}\\
+)\quad \text{Ta cần chứng minh công thức đúng với $n = k + 1$}\\
\text{tức là}\ y^{(k+1)} = \dfrac{(-1)^{k+1}.(n+1)!}{(x+2a)^{k+2}}\\
\text{Thật vậy, ta có:}\\
\quad y^{(k+1)} = \left[y^{(k)}\right]'\\
\Leftrightarrow y^{(k+1)} = \left[\dfrac{(-1)^k.k!}{(x+2a)^{k+1}}\right]'\\
\Leftrightarrow y^{(k+1)} = (-1)^k.k!.\left[(x+2a)^{-k-1}\right]'\\
\Leftrightarrow y^{(k+1)} = (-1)^k.k!.(-k-1).(x+2a)^{-k-2}\\
\Leftrightarrow y^{(k+1)} = (-1)^k.k!.(-1).(k+1)\cdot \dfrac{1}{(x+2a)^{k+2}}\\
\Leftrightarrow y^{(k+1)} = \dfrac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+2a)^{k+2}}\\
\text{Vậy}\ y^{(k+1)} = \dfrac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+2a)^{k+2}}\ \ \text{luôn đúng}\\
\text{Do đó:}\ y^{(n)} = \dfrac{(-1)^n.n!}{(x+2a)^{n+1}}\quad \forall x \in\Bbb N
\end{array}\)
