Giải thích các bước giải:
a.Ta có $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM=AN$
$\to\Delta AMN$ cân tại $A$
Mặt khác $AO\perp MN\to BC\perp MN\to B,C$ là điểm chính giữa cung $MN$ nhỏ và cung $MN$ lớn
$\to CM=CN$
b.Ta có $AM$ là tiếp tuyến của $(O)\to\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$
Mà $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$
$\to\Delta AMB\sim\Delta ACM(g.g)$
$\to\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{MB}{CM}$
$\to MA.MB=AB.CM$
c.Vì $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO$ là trung trực của $MN$
$\to \widehat{AMB}=\widehat{BNM}=\widehat{BMN}$
$\to MB$ là phân giác $\widehat{AMI}$
$\to \dfrac{BA}{BI}=\dfrac{MA}{MI}$
Ta có $BC$ là đường kính của $(O)\to MB\perp MC\to MC$ là phân giác ngoài $\Delta AMI$
$\to\dfrac{BA}{BI}=\dfrac{CA}{CI}(=\dfrac{MA}{MI})$
Từ câu b $\to\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AC}{AM}\to AB.AC=AM^2$
$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AM^2}{AC^2}$
Ta có: $\dfrac{CA}{CI}=\dfrac{MA}{MI}$
$\to\dfrac{MA}{AC}=\dfrac{MI}{CI}=\tan\widehat{MCI}=\tan\widehat{BMI}=\dfrac{IB}{IM}$
$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{IB^2}{IM^2}$
d.Ta có: $AI\perp MI\to AI$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MI$
$\widehat{AIK}=\widehat{KMI}=\widehat{KMN}=\widehat{ANK}$ vì $AN$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to AKIN$ nội tiếp
$\to\widehat{AKN}=\widehat{AIN}=90^o$
$\to AK\perp NK$
