Gọi số người là $x$ $($$x$ $∈$ $N*$$;$ $550$$<$$x$$<$$650$$)$
Vì khi xếp hàng $20$ thì dư $15$ $⇒$ $x$$-$$15$ $⋮$ $20$ $($$1$$)$
Vì khi xếp hàng $25$ thì dư $15$ $⇒$ $x$$-$$15$ $⋮$ $25$ $($$2$$)$
Vì khi xếp hàng $30$ thì dư $15$ $⇒$ $x$$-$$15$ $⋮$ $30$ $($$3$$)$
Khi xếp hàng $41$ thì vừa đủ $⇒$ $x$ $⋮$ $41$ $($$4$$)$
Từ $($$1$$)$ $;$ $($$2$$)$ $;$$($$3$$)$ $⇒$ $x$$-$$15$ $∈$ $BC$$($$20$$;$$25$$;$$30$$)$
Ta có:
$20$$=$$2²$$.$$5$
$25$$=$$5²$
$30$$=$$2$$.$$3$$.$$5$
$⇒$$BCNN$$($$20$$;$$25$$;$$30$$)$$=$$2²$$.$$5²$$.$$3$$=$$300$
$⇒$$x$$-$$15$$∈$ BC(20;25;30)=B(300)={0;300;600;900;...........}
$⇒$$x$ $∈$ {15;315;615;915;...........}
Mà x ⋮ 41 và 550<x<650
⇒ x=615
Vậy đơn vị bộ đội có 615 người.