Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có: \({S_{BCD}} = {S_{ECD}} = 1\).Hai tam giác này có chung cạnh đáy \(CD\), nên khoảng cách từ \(B,\,\,E\) đến \(CD\) bằng nhau, do đó \(BE//CD\).Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(AD//BC,\,\,CE//AB\).Gọi \(\left\{ H \right\} = BD \cap CE\).Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE//BD \Rightarrow AE//BH\\CE//AB \Rightarrow HE//AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow ABHE\) là hình bình hành \( \Rightarrow {S_{ABE}} = {S_{HBE}} = 1\).Đặt \({S_{HCD}} = x\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\).Ta có:\(\begin{array}{l}{S_{HCD}} = {S_{BCD}} - {S_{HBC}} = {S_{CDE}} - {S_{HDE}}\\ \Rightarrow 1 - {S_{HBC}} = 1 - {S_{HDE}}\\ \Rightarrow {S_{HBC}} = {S_{HDE}}\end{array}\)Ta lại có:\(\begin{array}{l}\dfrac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{HCD}}}} = \dfrac{{BH}}{{DH}} = \dfrac{{{S_{HBE}}}}{{{S_{HDE}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{1 - x}}{x} = \dfrac{1}{{1 - x}}\\ \Rightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} = x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)Xét phương trình (*) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 5 > 0\), do đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).\( \Rightarrow {S_{HCD}} = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\).\( \Rightarrow {S_{HBC}} = {S_{HDE}} = 1 - x = 1 - \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\).Vậy\(\begin{array}{l}{S_{ABCDE}} = {S_{ABE}} + {S_{HBE}} + {S_{HCD}} + {S_{HBC}} + {S_{HDE}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + 1 + \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} + 2.\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{5}\end{array}\)Chọn D.
