Đáp án:
a. Xe 2 tới điểm đã định trước.
b. Cách A 22,5km, cách B 37,5km
Giải thích các bước giải:
a. Vận tốc trung bình của mỗi xe là:
$\begin{array}{l}
{v_{t{b_1}}} = \dfrac{s}{{{t_1} + {t_2}}} = \dfrac{s}{{\dfrac{s}{{2{v_1}}} + \dfrac{s}{{2{v_2}}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{2{v_1}}} + \dfrac{1}{{2{v_2}}}}} = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}\\
{v_{t{b_2}}} = \dfrac{{{s_1} + {s_2}}}{t} = \dfrac{{{v_1}.\dfrac{t}{2} + {v_2}.\dfrac{t}{2}}}{t} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2}
\end{array}$
Ta có:
${v_{t{b_2}}} - {v_{t{b_1}}} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2} - \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}} = \dfrac{{{{\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}^2} - 4{v_1}{v_2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}$
Mà $\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)^2} \ge 0\\
{v_1},{v_2} > 0 \Rightarrow 2\left( {{v_1} + {v_2}} \right) > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow {v_{t{b_2}}} - {v_{t{b_2}}} \ge 0$
Vậy nên vận tốc trung bình của người hai nhanh hơn vận tốc trung bình của người thứ nhất nên người thứ hai sẽ tới địa điểm định trước.
b. Vận tốc trung bình của mỗi xe là:
$\begin{array}{l}
{v_{t{b_1}}} = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}} = \dfrac{{2.20.60}}{{20 + 60}} = 30km/h\\
{v_{t{b_2}}} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2} = \dfrac{{20 + 60}}{2} = 40km/h
\end{array}$
Thời gian đầu đi quảng đường của xe 2 là:
${t_2}' = \dfrac{t}{2} = \dfrac{s}{{2{v_{t{b_2}}}}} = \dfrac{{60}}{{2.40}} = 0,75h$
Thời gian đi hết quãng đường đầu của xe 1 là:
${t_1}' = \dfrac{s}{{2{v_1}}} = \dfrac{{60}}{{2.20}} = 1,5h$
Quãng đường xe 2 đi nữa thời gian đầu là:
${s_2}' = {v_1}.{t_2}' = 20.0,75 = 15km$
Khoảng cách của 2 xe lúc này là:
$\Delta s = s - 2{s_2}' = 60 - 2.15 = 30km$
Giả sử nơi gặp nhau của xe nằm ở vị trí chưa đến vị trí đi được nữa quãng đường của xe 1 cũng có nghĩa là khi gặp nhau xe 1 khi ấy chưa chuyển sang vận tốc v2 = 60km/h khi đó ta có:
$t' = \dfrac{{\Delta s}}{{{v_1} + {v_2}}}\dfrac{{30}}{{20 + 60}} = 0,375h$
Nơi gặp nhau của hai người lúc này cách B:
${s_B} = {s_2} + {s_2}' = {v_2}.t' + {s_2}' = 60.0,375 + 15 = 37,5km$
Vậy nơi gặp nhau của hai người lúc này cách A:
${s_A} = s - {s_B} = 60 - 37,5 = 22,5km$
Để nơi gặp nhau của hai người ở nơi cách A 22,5km thì vận tốc của người 1 phải là:
${s_A} - {s_2}' = {v_A}.t' \Leftrightarrow {v_A} = \dfrac{{22,5 - 15}}{{0,375}} = \dfrac{{7,5}}{{0,375}} = 20km/h = {v_1}$
Vậy giả thiết nơi gặp nhau của xe nằm ở vị trí chưa đến vị trí đi được nữa quãng đường của xe 1 cũng có nghĩa là khi gặp nhau xe 1 khi ấy chưa chuyển sang vận tốc v2 = 60km/h đúng nên vị trí gặp nhau của hai người là cách A 22,5km và cách B 37,5km
