Một số tự nhiên khi chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7. Tìm số dư khi chia số đó cho 2737. A. \(2653\) B. \(2648\) C. \(2697\) D. \(2698\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Gọi số tự nhiên đã cho là \(S\,\,\,\,\left( {S \in N} \right)\) Theo đề bài ta có: \(S = 7.a + 3 = 17.b + 12 = 23.c + 7\) Mặt khác : \(\begin{array}{l}S + 39 = 7.a + 3 + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + 7 + 39\\ = 7.\left( {a + 6} \right) = 17.\left( {b + 3} \right) = 23.\left( {c + 2} \right)\end{array}\) Như vậy \(S + 39\) đồng thời chia hết cho \(7;\,17\) và \(23.\) Ta có \(7;\,17;\,23\) đôi một nguyên tố cùng nhau nên \(\left( {S + 39} \right) \vdots 7.17.23\) nên \(\left( {S + 39} \right) \vdots 2737.k\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow S + 39 = 2737.k\\ \Rightarrow S = 2737.k - 39 = 2737.\left( {k - 1} \right) + 2698\end{array}\) Do \(2698 < 2737\) nên \(2698\) là số dư trong phép chia \(S\) cho \(2737\) . Chọn D