Đáp án: $V=\dfrac{224\pi}{3}$
Giải thích các bước giải:
Gọi trục lớn, trục nhỏ, chiều cao lần lượt là $(a,A), (b,B),H$
Đặt vào hệ trục tọa độ như hình vẽ với $a=4,b=2,A=8,B=4,H=4$
$A(x)$ là thiết diện vuông góc với đường thẳng nối hai tâm của hai đáy có trục lớn và trục nhỏ được tìm bằng việc sử dụng định lý Ta-lét (hình vẽ):
Trục lớn: $a+(A-a)\dfrac{x}{H}$
Trục nhỏ: $b+(B-b)\dfrac{x}{H}$
Vì $A(x)$ là elip nên diện tích $A(x)$ là:
$A(x)=\pi\left[{a+(A-a)\dfrac{x}{H}}\right]\left[{b+(B-b)\dfrac{x}{H}}\right]=\pi\left[{ab+(bA+aB-2ab)\dfrac{x}{H}+(AB-aB-bA+ab)\left({\dfrac{x}{H}}\right)^2}\right]$
$\to V=\displaystyle\int\limits^H_0A(x)dx$
$=\displaystyle\int\limits^H_0\pi\left[{ab+(bA+aB-2ab)\dfrac{x}{H}+(AB-aB-bA+ab)\left({\dfrac{x}{H}}\right)^2}\right]dx$
$=\dfrac{\pi H}{6}\left[{(2A+a)B+(A+2a)b}\right]$
$=\dfrac{\pi\cdot4}{6}\left[{(2\cdot8+4)\cdot4+(8+2\cdot4)\cdot2}\right]=\dfrac{224\pi}{3}$
