Đáp án:
200m
Giải thích các bước giải:
Vận tốc khi chạm đất lần đầu là: \(v = \sqrt {2gh} \)
Vận tốc khi nảy lên là: \(v' = \dfrac{v}{n} = \dfrac{1}{n}\sqrt {2gh} \)
Bảo toàn cơ năng, có: $mgh = \dfrac{1}{2}m{v^2}\,\, \Rightarrow h \sim {v^2}$
Do đó, độ cao lên được sau k lần va chạm sẽ giảm đi ${n^{2k}}$ lần.
Quãng đường rơi xuống lần 1: h
Quãng đường lên và xuống lần 2: $\dfrac{{2h}}{{{n^2}}}$
Quãng đường lên và xuống lần 3: $\dfrac{{2h}}{{{n^4}}}$
...
Tổng quãng đường đi là:
\(S = h + \dfrac{{2h}}{{{n^2}}} + \dfrac{{2h}}{{{n^4}}} + ... = h + \dfrac{{2h}}{{{n^2}}}\left( {1 + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}} + ...} \right) = h + \dfrac{{2h}}{{{n^2}}}A\)
Với A là cấp số nhân lùi vô hạn \(1 + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}} + ...\) với công bội: $q = \dfrac{1}{{{n^2}}}$
Ta có: $A = \dfrac{1}{{1 - q}} = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{{{n^2}}}{{{n^2} - 1}}$
Suy ra: $S = \dfrac{{h\left( {{n^2} + 1} \right)}}{{\left( {{n^2} - 1} \right)}} = 200\,m$
