Đáp án: $5$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$3\sin^2x-(1+\sqrt{3})\sin2x+(2\sqrt{3}+1)\cos^2x=1$
$\to 3\sin^2x-(1+\sqrt{3})\sin2x+(2\sqrt{3}+1)\cos^2x=\sin^2x+\cos^2x$
$\to 2\sin^2x-(1+\sqrt{3})\sin2x+2\sqrt{3}\cos^2x=0$
$\to 2\sin^2x-(1+\sqrt{3})\cdot 2\sin x\cos x+2\sqrt{3}\cos^2x=0$
$\to \sin^2x-(1+\sqrt{3})\cdot \sin x\cos x+\sqrt{3}\cos^2x=0(1)$
Thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình
$\to \cos x\ne 0$
$\to $Chia cả $2$ vế của $(1)$ cho $\cos^2x$ ta được
$(\dfrac{\sin x}{\cos x})^2-(1+\sqrt{3})\cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}+\sqrt{3}=0$
$\to \tan^2x-(1+\sqrt{3})\cdot \tan x+\sqrt{3}=0$
$\to (\tan x-1)(\tan x-\sqrt{3})=0$
$\to\tan x=1\to x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ hoặc $\tan x=\sqrt{3}\to x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$
$\to$Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là:
$x=\dfrac{\pi}{4}\to a=1, b=4\to a+b=5$
