Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \({\tan ^{2018}}x + {\cot ^{2018}}x = 2{\sin ^{2017}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\) có dạng \(\dfrac{{\pi a}}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên, \(a > 0\) và \(a,\,\,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(S = a.b\).A.\(4\)B.\(3\)C.\(

hducanh2712

2 năm trước

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \({\tan ^{2018}}x + {\cot ^{2018}}x = 2{\sin ^{2017}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\) có dạng \(\dfrac{{\pi a}}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên, \(a > 0\) và \(a,\,\,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(S = a.b\).
A.\(4\)
B.\(3\)
C.\(6\)
D.\(8\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 19 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nguyenmy223

Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Áp dụng BĐT Cô-si chứng minh \(VP \ge 2\), chứng minh \( - 2 \le VT \le 2\).
- Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra, giải phương trình lượng giác cơ bản.Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\).
Khi đó ta có \({\tan ^{2018}}x > 0,\,\,{\cot ^{2018}}x > 0\).
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \({\tan ^{2018}}x\) và \({\cot ^{2018}}x\) ta có:
\({\tan ^{2018}}x + {\cot ^{2018}}x \ge 2\sqrt {{{\tan }^{2018}}x.{{\cot }^{2018}}x} = 2\) (vì \(\tan x.\cot x = 1\)).
Ta lại có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\, - 1 \le \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - 1 \le {\sin ^{2017}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - 2 \le 2{\sin ^{2017}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 2\end{array}\)
\(VT \ge 2,\,\,VP \le 2\), do đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}\tan x = \cot x\\\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\tan ^2}x = 1\\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan x = 1\\x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).
Xét \(x > 0 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{1}{8},\,\,k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow \) Số nguyên \(k\) nhỏ nhất thỏa mãn là \(k = 0\).
Suy ra, nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \dfrac{\pi }{4}\) \( \Rightarrow \dfrac{{a\pi }}{b} = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right.\).
Vậy \(S = a.b = 1.4 = 4\).
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hình vẽ mô tả quá trình điều chế khí metan trong phòng thí nghiệm:

Một học sinh dựa vào thí nghiệm trên đã nêu ra các phát biểu sau:
(a) Khí metan dễ tan trong nước nên cần phải thu bằng phương pháp đẩy nước.
(b) Các chất rắn trong X có thể là CaO, NaOH, CH3COONa.
(c) Ống nghiệm đựng chất rắn khi lắp cần phải cho miệng hơi chúc xuống dưới.
(d) Khi kết thúc thí nghiệm phải tắt đèn cồn trước rồi mới tháo ống dẫn khí.
(e) CaO là chất bảo vệ ống thủy tinh, tránh bị nóng chảy.
A.2.
B.1.
C.4.
D.3.

Jack: “How have you been recently?" - Kim: “_________”
A.By motorbike.
B.I’m late.
C.A bit busy.
D.No, I'm not busy.

Ở một loài thực vật, alen A qui định thân cao trội hoàn toàn so với alen a qui định thân thấp. Alen B qui định là không xẻ thùy trội hoàn toàn so với alen b qui định lá xẻ thùy. Alen D qui định hoa màu đỏ trội không hoàn toàn so với alen d qui định hoa màu trắng, kiểu gen Dd cho hoa màu hồng. Các gen nằm trên các cặp NST thường khác nhau. Cho cây thân cao, lá không xẻ thùy, hoa màu hồng tự thụ phấn, thu được F1.Theo lý thuyết, tỉ lệ nào sau đây không phù hợp với tỷ lệ kiểu hình F1 ?
A.27:9:9:9:3:3:3:1
B.01:02:01
C.6:3:3:2:1:1
D.18:9:9:6:6:3:3:3:3:2:1:1

Ngày 27 tháng 2 năm 2021 là ngày Thứ bảy. Ngày 01 tháng 03 cùng năm là ngày:
A.thứ sáu
B.thứ bảy
C.chủ nhật
D.thứ hai

A.talent
B.campus
C.many
D.marry

These cats look lovely,______?
A.are these
B.don’t these
C.are they
D.don’t they

Hai nguyên tử nào sau đây là đồng vị của cùng một nguyên tố?
A.\({}_{15}^{31}X\)và \({}_{16}^{32}Y\).
B.\({}_6^{12}X\)và \({}_7^{14}Y\).
C.\({}_{12}^{24}X\)và \({}_{12}^{25}Y\).
D.\({}_{15}^{31}X\)và \({}_{16}^{31}Y\).

Phản ứng của khí hiđro với khí oxi là
A.phản ứng phân hủy.
B.phản ứng hóa hợp.
C.phản ứng quang hợp.
D.phản ứng nhiệt phân.

\(502 + 105:5\) có kết quả là………………..
A.523
B.521
C.511
D.533

Cho các số a,b,c thỏa mãn \({\log _a}3 = 2,{\log _b}3 = \dfrac{1}{4}\) và \({\log _{abc}}3 = \dfrac{2}{{15}}\) . Giá trị của \({\log _c}3\) bằng:
A.\(2\)
B.\(\dfrac{1}{2}\)
C.\(3\)
D.\(\dfrac{1}{3}\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến