Xét 5 tổng: $S_1=a_1$
\[S_2 = a_1 + a_2\] \[S_3 = a_1 + a_2 + a_3\] \[S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4\] \[S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\]
Khi chia cho 5 thì mỗi số sẽ có số dư từ 1 đến 4. Theo lý Dirichlet ít nhất 2 trong 5 số đó có cùng số dư. Vậy hiệu của hai tổng đó chia hết cho 20. Chẳng hạn hai tổng đó là Sm và Sn thì:
Sm - Sn = (a1+a2+…+an+…+am) - ( a1+a2+…+an )
= an+1 + an+2 +…+am
Mà Sm - Sn $\vdots$ 5
Và an+1 + an+2 +…+am là tổng một số số tự nhiên kề nhau.
Vậy tổng một số số tự nhiên kề nhau chia hết cho 5.