Để được khúc gỗ hình hộp chữ nhật từ khúc gỗ hình trụ thì khúc gỗ hình hộp chữ nhật có:
+) Mặt đáy nội tiếp đường tròn đáy khúc gỗ hình trụ
+) Chiều cao bằng chiều cao khúc gỗ hình trụ (không đổi)
Vì `V_{hhcn}=a.b.c=S_{đáy}.h`
(Với `a;b` là kích thước đáy; $h$ là chiều cao)
Vì `h` không đổi nên: `V_{hhcn_{max}}<=>S_{đáy_{max}}`
Gọi mặt đáy hình hộp chữ nhật là $ABCD$
Gọi `O` là giao điểm $AC$ và $BD$
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật
`=>OA=OB=OC=OD`
`=>ABCD` nội tiếp đường tròn tâm `O` đường kính `d`
Ta có $∆ABD$ vuông tại $A$
`=>AB^2+AD^2=BD^2=d^2` (định lý Pytago)
Vì `(AB-AD)^2\ge 0`
`=>AB^2-2AB.AD+AD^2\ge 0`
`=>AB^2+AD^2\ge 2AB.AD`
`=>d^2\ge 2AB.AD`
`=>AB.AD\le {d^2}/2`
`=>S_{ABCD}\le {d^2}/2`
Dấu "=" xảy ra khi $AB=AD$ hay $ABCD$ là hình vuông
`\qquad S_{ABCD_{max}}={d^2}/2`
`=>AB^2={d^2}/2`
`=>AB=d/{\sqrt{2}}={d\sqrt{2}}/2`
Vậy khối gỗ hình hộp chữ nhật có:
+) Đáy là hình vuông cạnh `{d\sqrt{2}}/2` (đường chéo hình vuông bằng đường kính $d$ của đường tròn đáy hình trụ)
+) Chiều cao bằng chiều cao khối gỗ hình trụ
