Giải thích các bước giải:
Ta có:
a,
Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:
\(ac < 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 3\)
b,
Phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1,x_2$ khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta ' \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 1 \ne 0\\
{\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
\left( {{m^2} - 4m + 4} \right) - \left( {{m^2} - 4m + 3} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
1 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 1
\end{array}\)
Với \(m \ne 1\) thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{m - 1}}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m - 3}}{{m - 1}}
\end{array} \right.\)
Theo giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} < 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{m - 1}} + \dfrac{{m - 3}}{{m - 1}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {m - 2} \right) + m - 3 - \left( {m - 1} \right)}}{{m - 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{2m - 6}}{{m - 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {2m - 6} \right) < 0\\
\Leftrightarrow 1 < m < 3
\end{array}\)
