a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:
AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)
$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ ($\Delta ABC$ cân tại A)
BD = DC (D là trung điểm của BC)
⇒ $\Delta ABD=\Delta ACD$ (c.g.c)
b) Xét $\Delta ABC$ có:
D là trung điểm của BC
⇒ AD là đường trung tuyến ứng với BC
⇒ AD đồng thời là đường cao (tính chất tam giác cân)
⇒ AD ⊥ BC
c) Xét $\Delta BMC$ và $\Delta CNB$ có:
BC chung
$\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (vì $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$)
MB = NC (gt)
⇒ $\Delta BMC$ = $\Delta CNB$ (c.g.c)
⇒ BN = CM (cặp cạnh tương ứng)
d) Xét $\Delta ABC$ cân tại A có:
$\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}$ (1)
Xét $\Delta AMN$ có:
AM = AN (vì AB = AC, M ∈ AB, N ∈ AC)
⇒ $\Delta AMN$ cân tại A
⇒ $\widehat{AMN}=\frac{180^o-\widehat{MAN}}{2}$
hay $\widehat{AMN}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{ABC}=\widehat{AMN}$ (cùng = $\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}$)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
⇒ MN // BC.
