Đáp án:
$11)\quad y = C_1e^{-\tfrac{\sqrt2}{2}x}\sin\left(\dfrac{\sqrt2}{2}x\right) + C_2e^{-\tfrac{\sqrt2}{2}x}\cos\left(\dfrac{\sqrt2}{2}x\right)+C_3e^{\tfrac{\sqrt2}{2}x}\sin\left(\dfrac{\sqrt2}{2}x\right)+C_4e^{\tfrac{\sqrt2}{2}x}\cos\left(\dfrac{\sqrt2}{2}x\right)$
$12)\quad y = C_1e^{-x} + C_2e^x + C_3e^{-\tfrac12x}\sin\left(\dfrac{\sqrt3}{2}x\right) + C_4e^{-\tfrac12x}\cos\left(\dfrac{\sqrt3}{2}x\right)+C_5e^{\tfrac12x}\sin\left(\dfrac{\sqrt3}{2}x\right)+C_6e^{\tfrac12x}\cos\left(\dfrac{\sqrt3}{2}x\right)$
$13)\quad y =C_1e^{-\sqrt3x} + C_2e^{-x} + C_3e^x + C_4e^{\sqrt3x}$
$14)\quad y = C_1\sin2x + C_2\sin x + C_3\cos x + C_4\cos2x$
$15)\quad y = C_1\sin\left(\sqrt3x\right) + C_2e^{-x} + C_3e^x + C_4\cos\left(\sqrt3x\right)$
Giải thích các bước giải:
Câu 11:
$\quad y^{(4)} + y = 0$
Phương trình đặc trưng:
$\quad k^4 + 1 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k_1 = -\dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac{\sqrt2}{2}i\\k_2 = -\dfrac{\sqrt2}{2} +\dfrac{\sqrt2}{2}i\\k_3 = \dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac{\sqrt2}{2}i\\k_4 = \dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\sqrt2}{2}i\end{array}\right.$
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
$y = C_1e^{-\tfrac{\sqrt2}{2}x}\sin\left(\dfrac{\sqrt2}{2}x\right) + C_2e^{-\tfrac{\sqrt2}{2}x}\cos\left(\dfrac{\sqrt2}{2}x\right)+C_3e^{\tfrac{\sqrt2}{2}x}\sin\left(\dfrac{\sqrt2}{2}x\right)+C_4e^{\tfrac{\sqrt2}{2}x}\cos\left(\dfrac{\sqrt2}{2}x\right)$
Câu 12:
$\quad y^{(6)} - y = 0$
Phương trình đặc trưng:
$\quad k^6 - 1 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k_1 =-1 \\k_2 = 1\\k_3 = -\dfrac12 - \dfrac{\sqrt3}{2}i\\k_4 =-\dfrac12 + \dfrac{\sqrt3}{2}i\\ k_5 = \dfrac12 - \dfrac{\sqrt3}{2}i\\k_6 =\dfrac12 + \dfrac{\sqrt3}{2}i\end{array}\right.$
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là:
$y = C_1e^{-x} + C_2e^x + C_3e^{-\tfrac12x}\sin\left(\dfrac{\sqrt3}{2}x\right) + C_4e^{-\tfrac12x}\cos\left(\dfrac{\sqrt3}{2}x\right)+C_5e^{\tfrac12x}\sin\left(\dfrac{\sqrt3}{2}x\right)+C_6e^{\tfrac12x}\cos\left(\dfrac{\sqrt3}{2}x\right)$
Câu 13:
$\quad y^{(4)} - 4y'' + 3y = 0$
Phương trình đặc trưng:
$\quad k^4 - 4k^2 + 3 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k_1 = -\sqrt3\\k_2 = -1\\k_3 = 1\\k_4 = \sqrt3\end{array}\right.$
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là:
$y =C_1e^{-\sqrt3x} + C_2e^{-x} + C_3e^x + C_4e^{\sqrt3x}$
Câu 14:
$\quad y^{(4)} +5y'' + 4y = 0$
Phương trình đặc trưng:
$\quad k^4 + 5k^2 + 4 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k_1 = -2i\\k_2 = -i\\k_3 = i\\k_4 = 2i\end{array}\right.$
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là:
$y = C_1\sin2x + C_2\sin x + C_3\cos x + C_4\cos2x$
Câu 15:
$\quad y^{(4)} +2y'' - 3y = 0$
Phương trình đặc trưng:
$\quad k^4 + 2k^2 -3 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k_1 =- \sqrt3i\\k_2 = - 1\\k_3 = 1\\k_4 = \sqrt3i\end{array}\right.$
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là:
$y = C_1\sin\left(\sqrt3x\right) + C_2e^{-x} + C_3e^x + C_4\cos\left(\sqrt3x\right)$
