Lời giải:
Xét tứ giác $BDMF$ có:
$\widehat{BDM} = \widehat{BFM} = 90^\circ\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{BDM} + \widehat{BFM} = 180^\circ$
Do đó: $BDMF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{BDF} = \widehat{BMF}\quad (1)$
Xét tứ giác $CMDE$ có:
$\widehat{CEM} = \widehat{CDM} = 90^\circ\quad (gt)$
$\widehat{CEM}$ và $\widehat{CDM}$ cùng nhìn cạnh $CM$
Do đó: $CMDE$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{CDE} = \widehat{CME}\qquad (2)$
Ta lại có:
$ABMC$ nội tiếp $(O)\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{MBF} = \widehat{ACM}\quad (3)$
Bên cạnh đó:
$\widehat{MBF} + \widehat{BMF} =90^\circ\quad (4)$
$\widehat{ACM} + \widehat{CME} = 90^\circ\quad (5)$
Từ $(1)(2)(3)(4)(5)\Rightarrow \widehat{BDF} = \widehat{CDE}$
mà $B,D,C$ thẳng hàng
nên $E,D,F$ thằng hàng
Khi đó, đường thẳng đi qua 3 điểm $D,E,F$ được gọi là Đường thẳng Simson của $M$ đối với $\triangle ABC$
