a)
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}-{{4}^{2}}}=4\sqrt{3}cm$
$CH=\dfrac{AC.BC}{AB}=\dfrac{4.4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}cm$
b)
$K$ là trung điểm dây cung $BC$
$\Rightarrow OK$ là đường trung trực của $BC$
Mà $D\in OK$
$\Rightarrow \Delta OBD=\Delta OCD$
$\Rightarrow BD=DC$ và $\widehat{OBD}=\widehat{OCD}=90{}^\circ $
$\Rightarrow BD=DC$ và $DC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$
c)
$\Delta CHO$ và $\Delta CKO$ lần lượt vuông tại $H$ và $K$ với cạnh huyền $OC$
$\Rightarrow C,H,O,K$ cùng thuộc một đường tròn với đường kính $OC$
d)
Kéo dài $BC$ cắt $AE$ tại $F$
$\Delta BEA$ có $IH//EA\Rightarrow \dfrac{BI}{BE}=\dfrac{IH}{EA}$
$\Delta BEF$ có $IC//EF\Rightarrow \dfrac{BI}{BE}=\dfrac{IC}{EF}$
$\Rightarrow \dfrac{IH}{EA}=\dfrac{IC}{EF}$ Mà $IH=IC\Rightarrow EA=EF$
$\Rightarrow E$ là trung điểm $AF$
$\Delta ACF$ vuông tại $C$ với $CE$ trung tuyến
$\Rightarrow EC=EA$
$\Rightarrow \Delta OEC=\Delta OEA\left( c.c.c \right)$
$\Rightarrow \widehat{OCE}=\widehat{OAE}=90{}^\circ $
$\Rightarrow EC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$
Mà $DC$ cũng là tiếp tuyến của $\left( O \right)$
$\Rightarrow EC\equiv DC$$\Rightarrow E,C,D$ thẳng hàng
