$\quad y = \ln(a^2x)\quad (a\ne 0,x > 0)$
a) Ta có:
$\quad y' = \dfrac1x$
$\quad y'' = -\dfrac{1}{x^2}$
$\quad y''' = \dfrac{2}{x^3}$
b) Dự đoán:
$\quad y^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$
Chứng minh:
+ Với $n = 1$ ta được:
$\quad y' = \dfrac{(-1)^0.0!}{x} = \dfrac1x$ (đúng)
+ Giả sử công thức đúng với $n = k:$
$\quad y^{(k)}= \dfrac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k}$
+ Ta cần chứng minh công thức đúng với $n = k +1$
Tức là: $y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^{k}k!}{x^{k+1}}$
Thật vậy, ta có:
$\quad y^{(k+1)}= \left[y^{(k)}\right]'$
$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= \left[\dfrac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k}\right]'$
$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}(k-1)!.[x^{-k}]'$
$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}.(k-1)!.(-k).x^{-k-1}$
$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}.(k-1)!.(-1).k\cdot \dfrac{1}{x^{k+1}}$
$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^kk!}{x^{k+1}}$
Vậy công thức $y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^kk!}{x^{k+1}}$ đúng
Do đó $y^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}\quad \forall n\in\Bbb N^*$
