Đáp án:
Giải thích các bước giải: Câu 1: Các tứ giác ABCD, EFGH & hình vẽ bên dưới có phải là hình bình hành hay không?
Lời giải:
Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có cạnh đối AD // BC và AD = BC bằng 3 cạnh ô vuông.
Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau.
EH = FG là đường chéo hình chữ nhật có cạnh 1 ô vuông và cạnh 3 ô vuông
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: DE = BF
Lời giải:
Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)
EB = 1/2 AB (gt)
FD = 1/2 CD (gt)
Suy ra: EB = FD (1)
Mà AB // CD (gt)
⇒ BE // FD (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành)
Câu 3: Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở M. Tia phân giác của góc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng AMCN là hình bình hành.
Lời giải:
Ta có: ∠A = ∠C (tính chất hình bình hành)
∠A2 = 12 ∠A (gt)
∠C2 = 12 ∠C (gt)
Suy ra: ∠A2 = ∠C2 (gt)
AB // CD (gt)
Hay AN // CM (1)
Mà ∠N1 = ∠C2(so le trong)
Suy ra: ∠A2= ∠N1
AM // CN (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.
Câu 4: Hình bên cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AECF là hình bình hành.
Lời giải:
Gọi O là'giao điểm của AC và BD, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO, ta có:
∠(AEO) = ∠(CFO) = 90o
OA = OC (chứng minh trên)
∠(AOE) = ∠(COF) (đối đỉnh)
Do đó ΔAEO = ΔCFO (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ OE = OF' (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Câu 5: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Nối đường chéo AC.
Trong ΔABC ta có:
E là trung điểm của AB (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
Nên EF là đường trung bình của ΔABC
⇒EF//AC và EF = 1/2 AC
(tính chất đường trung hình tam giác) (1)
Trong ΔADC ta có:
H là trung điểm của AD (gt)
G là trung điểm của DC (gt)
Nên HG là đường trung bình của ΔADC
⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB, Đường chéo BD cắt AI, UK theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng DE = EF = FB
Lời giải:
Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)
AK = 1/2 AB (gt)
CI = 1/2 CD (gt)
Suy ra: AK = CI (1)
Mặt khác: AB // CD (gt)
⇒ AK // CI (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCI là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
⇒ AI // CK
Trong ΔABE, ta có:
K là trung điểm của AB (gt)
AI // CK hay KF // AE nên BF = EF (tính chất đường trung bình tam giác)
Trong ΔDCF, ta có:
I là trung điểm của DC (gt)
AI // CK hay IE // CF nên DE = EF (tính chất đường trung bình tam giác)
Suy ra: DE = EF = FB
Câu 7: Tính các góc của hình bình hành ABCD biết:
∠A = 110o
∠A - ∠B = 20o
Lời giải:
a, Tứ giác ABCD là hình bình hành.
⇒ ∠C = ∠A = 110o (tính chất hình bình hành)
∠A + ∠B = 180o (2 góc trong cùng phía bù nhau)
⇒ ∠B = 180o – 110o = 70o
∠D = ∠B = 70o (tính chất hình bình hành)
b, Tứ giác ABCD là hình bình hành.
⇒∠A + ∠B = 180o (2 góc trong cùng phía bù nhau)
∠A - ∠B = 20o (gt)
Suy ra: 2∠A = 200o ⇒ ∠A = 100o
∠C = ∠A = 100o (tính chất hình bình hành)
∠A = ∠A – 20o = 100o – 20o = 80o
∠D = ∠B = 80o (tính chất hình bình hành)
Câu 8: Trong các tứ giác ở hình dưới đây, hình nào là hình bình hành.
Lời giải:
* Tứ giác ABCD là hình bình hành vì AB // CD và AB = CD.
* Tứ giác IKMN là hình bình hành vì có ∠I = ∠M = 70o và ∠K = ∠N = 110o
Câu 9: Chu vì hình bình hành ABCD bằng l0cm, chu vi tam giác ABD bằng 9cm. Tính độ dài BD.
Lời giải:
Chu vì hình bình hành ABCD bằng 10cm nên (AB + CD).2 = 10(cm)
⇒ AB + AD = 102 = 5(cm)
Chu vi của ΔABD bằng:
AB + AD + BD = 9(cm)
⇒ BD = 9 - (AB + AD) = 9 - 5 = 4(cm)
Câu 10: Hình bên dưới, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AE //CF.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành)
OB = OD
Xét ΔAEB và ΔCFD, ta có:
AB = CD (tính chất hình bình hành)
∠(ABE) = ∠(CDF) (so le trong)
BE = DF (gt)
Do đó: ΔAEB = ΔCFD (c.g.c) ⇒ BE = DF
Tacó: OB = OE + BE
OD = OF + BF
Suy ra: OE = OF
Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE // CF.
Câu 11: Cho hình hình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng:
a, EMNF là hình bình hành
b, Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy.
Lời giải:
a, Xét tứ giác AECF, ta có:
AB // CD (gt)
Hay AE //CF
AE = 1/2 AB
AB = CD (tính chất hình bình hành)
Suy ra: AE = CF
Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau) ⇒ AF //CE hay EN // FM (1)
Xét tứ giác BFDE ta có:
AB // CD (gt) hay BE // DF
BE = 1/2 AB (gt)
DF = 1/2 CD (gt)
AB = CD (tính chất hình bình hành)
Suy ra: BE = DF
Tứ giác BFDE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ BF//DE hay EM // FN (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMNF là hình bình hành (theo định nghĩa hình bình hành).
b, Gọi O là giao điểm của AC và EF
Tứ giác AECF là hình bình hành ⇒ OE = OF
Tứ giác EMFN là hình bình hành trên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra: MN đi qua trung điểm O của EF.
Vậy AC, EF, MN đồng quy tại O
