a,
Chọn $x=0\to y=0$
Chọn $x=\pm 1\to y=\dfrac{1}{4}$
Chọn $x=\pm 2\to y=2$
Vậy parabol $(P)$ đi qua các điểm: $(0;0)$, $\Big(\pm 1;\dfrac{1}{4}\Big)$, $(\pm 2;2)$
b,
Phương trình hoành độ giao:
$\dfrac{1}{4}x^2=(a+1)x+1$
Thay $x=2$ vào phương trình:
$\dfrac{1}{4}.2^2=2(a+1)+1$
$\to 2a+2+1=1$
$\to a=-1$