Ta có:
P = ( $\frac{√x}{√x + 1}$- $\frac{1}{x+√x}$ ).($\frac{1}{√x+1}$+ $\frac{1}{x-1}$ )
P = $\frac{(x-1)}{√x(√x+1)}$.$\frac{(√x-1+1)}{(√x+1)(√x-1)}$
P =$\frac{(√x+1)(√x-1)}{√x(√x+1)}$. $\frac{√x}{(√x+1)(√x-1)}$
P =$\frac{(√x-1)}{√x}$. $\frac{√x}{(√x+1)(√x-1)}$
P = $\frac{1}{√x+1}$
Khi đó: A = $\frac{1}{√x+1}$ + $\frac{√x+19}{9}$
A = $\frac{1}{√x+1}$ + $\frac{√x+1}{9}$+ $\frac{18}{9}$
A = $\frac{1}{√x+1}$ + $\frac{√x+1}{9}$ + 2
Vì √x $\geq$ 0 với mọi x nên √x + 1 >0 với mọi x
Do đó: $\frac{1}{√x+1}$ >0, $\frac{√x+1}{9}$ >0 với mọi x
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được:
$\frac{1}{√x+1}$+ $\frac{√x+1}{9}$ $\geq$ 2$\sqrt[]{\frac{1}{9}}$= $\frac{2}{3}$
⇒ A $\geq$ $\frac{2}{3}$+2= $\frac{8}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi: $\frac{1}{√x+1}$ = $\frac{√x+1}{9}$
⇒ (√x+1)²=9 ⇒ √x+1=±3
Mà √x+1 >0 với mọi x nên √x + 1 = 3 ⇒√x = 2 ⇒ x = 4
Vậy GTNN của A bằng 8/3 khi và chỉ khi x = 4
