Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA = a\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Trên \(SB,SD\) lần lượt lấy hai điểm \(M,N\) sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = m > 0,\,\,\dfrac{{SN}}{{SD}} = n > 0\). Tính thể tích lớn nhất \({V_{\max }}\) của khối chóp \(S.AMN\) biết \(2{m^2} + 3{n^2} = 1\).
A.\({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{72}}\).
B.\({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}}\).
C.\({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).
D.\({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu thức \(M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính mô đun của số phức \(z + i\).
A.\(\left| {z + i} \right| = \sqrt {61} \).
B.\(\left| {z + i} \right| = 5\sqrt 2 \).
C.\(\left| {z + i} \right| = 3\sqrt 5 \).
D.\(\left| {z + i} \right| = 2\sqrt {41} \).

S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a thỏa mãn mỗi nghiệm của bất phương trình \({\log _x}\left( {5{x^2} - 8x + 3} \right) > 2\) đều là nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x - {a^4} + 1 \ge 0\). Khi đó:
A.\(S = \left( { - \dfrac{{\sqrt {10} }}{5};\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}} \right)\).
B.\(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}; + \infty } \right)\).
C.\(S = \left[ { - \dfrac{{\sqrt {10} }}{5};\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}} \right]\).
D.\(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}} \right) \cup \left( {\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}; + \infty } \right)\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.\({a^2} + {b^2} + {c^2} > \dfrac{4}{3}\).
B.\({a^2} + {b^2} + {c^2} < \dfrac{4}{3}\).
C.\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{4}{3}\).
D.\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le \dfrac{4}{3}\).

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^{3x}}?\)
A.\(F(x) = \dfrac{{{2^{3x}}}}{{2.\ln 3}}\).
B.\(F(x) = 3.\;{2^{3x}}.\ln 2\).
C.\(F(x) = \dfrac{{{2^{3x}}}}{{2.\ln 2}} - 1\).
D.\(F(x) = \dfrac{{{2^{3x}}}}{{3.\ln 2}}\).

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = x,\;\;y = {\sin ^2}x\) và đường thẳng \(x = - \dfrac{\pi }{4}\) bằng
A.\( - \dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}} + \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{4}\)
B.\(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}} + \dfrac{\pi }{8} - \dfrac{1}{8}\)
C.\(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}} + \dfrac{\pi }{8} - \dfrac{1}{4}\)
D.\(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}} - \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{4}\)

Một hình chóp có tất cả \(10\) cạnh. Số mặt của hình chóp đó bằng
A.6
B.7
C.4
D.5

\(\,{\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^2}.\frac{{ - 7}}{{15}} + \frac{{ - 4}}{9}.\frac{8}{{15}} - \frac{5}{9}\)
A.\(-1\)
B.\(-4\)
C.\(-10\)
D.\(-49\)

Một khối cầu có bán kính là \(5\,\left( {dm} \right)\), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng \(3\left( {dm} \right)\) để làm một chiếc lu đựng nước (hình vẽ). Tính thể tích nước tối đa mà chiếc lu có thể chứa được.
A.\(\dfrac{{43}}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right)\).
B.\(\dfrac{{100}}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right)\).
C.\(41\pi \left( {d{m^3}} \right)\).
D.\(132\pi \left( {d{m^3}} \right)\).

\(\,x - \frac{3}{7} = \frac{{ - 13}}{{14}}\)
A.\(x = \frac{{ 5}}{4}\)
B.\(x = \frac{{ -5}}{4}\)
C.\(x = \frac{{ 1}}{2}\)
D.\(x = \frac{{ - 1}}{2}\)