Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Gọi \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).
Vì đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với trục hoành tại \(A\left( {2;0} \right)\) nên \( \Rightarrow I\left( {2;\,\,b} \right);\,R = b\)
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2;\,\,b} \right)\) và có bán kính \(R = b\) có dạng:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
+) Ta có: \(\overrightarrow {IB} = \left( {4;\,\,4 - b} \right)\). Theo bài ra, \(IB = 5\)\( \Rightarrow \sqrt {{4^2} + {{\left( {4 - b} \right)}^2}} = 5\)
\( \Rightarrow {4^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {5^2}\)
\( \Rightarrow 16 + 16 - 8b + {b^2} = 25\)
\( \Rightarrow {b^2} - 8b + 7 = 0\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 7\end{array} \right.\)
Với \(b = 1\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)
Với \(b = 7\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 49\)
Chọn A