Đáp án:
a) \(k=3\)
b) \(k=3\)
c) \(k=-3\)
Giải thích các bước giải:
Phương trình \({x^2} - 3x + k - 1 = 0\) có \(\Delta = 9 - 4\left( {k - 1} \right) = 13 - 4k\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta = 13 - 4k \ge 0 \Leftrightarrow k \le \dfrac{{13}}{4}\).
Theo Vi – et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = k - 1\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
a) \(x_1^3 - {x_2} = 7 \Leftrightarrow {x_2} = x_1^3 - 7\) thay vào \(\left( 1 \right)\) được:
\({x_1} + x_1^3 - 7 = 3 \Leftrightarrow x_1^3 + {x_1} - 10 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {x_1^2 + 2{x_1} + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} - 2 = 0\\x_1^2 + 2{x_1} + 5 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1} = 2\) \( \Rightarrow {x_2} = {2^3} - 7 = 1\)
Khi đó \(k - 1 = {x_1}{x_2} = 2.1 = 2 \Rightarrow k = 3\) (TM)
Vậy \(k = 3\).
b) \(M = x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2 - 3{x_1} + 3\) đạt GTNN
Ta có:
\(M = x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2 - 3{x_1} + 3\)\( = \left( {x_2^2 - {x_1}{x_2} + \dfrac{1}{4}x_1^2} \right) + 3\left( {\dfrac{1}{4}x_1^2 - {x_1} + 1} \right)\)
\( = {\left( {{x_2} - \dfrac{1}{2}{x_1}} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{2}{x_1} - 1} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra \(M \ge 0\) hay \({M_{\min }} = 0\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} - \dfrac{1}{2}{x_1} = 0\\\dfrac{1}{2}{x_1} - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{1}{2}{x_1}\\{x_1} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow k - 1 = {x_1}{x_2} = 2.1 = 2 \Rightarrow k = 3\) (TM)
Vậy \(k = 3\).
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{13}}{4}\).
Khi đó phương trình có hai nghiệm nguyên phân biệt, giả sử \({x_1} < {x_2}\).
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_2} - {x_1} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 1 \in \mathbb{Z}\\{x_2} = 4 \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\) suy ra \(k - 1 = {x_1}{x_2} = \left( { - 1} \right).4 = - 4\)\( \Rightarrow k = - 3\).
Vậy \(k = - 3\).
