Lời giải:
a) Xét tứ giác $BHMK$ có:
$\widehat{H}=\widehat{K}=90^\circ\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{H} +\widehat{K}=180^\circ$
Do đó $BHMK$ là tứ giác nội tiếp
b)Xét tứ giác $CHMI$ có:
$\widehat{H}=\widehat{I}=90^\circ\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{H} +\widehat{I}= 180^\circ$
Do đó $CHMI$ là tứ giác nội tiếp
c) Ta có:
$BHMK$ là tứ giác nội tiếp (câu a)
$\Rightarrow \widehat{MKH}=\widehat{MBH}\quad (1)$
Bên cạnh đó:
$CHMI$ là tứ giác nội tiếp (câu b)
$\Rightarrow \widehat{MHI}=\widehat{MCI}\quad (2)$
Ta lại có:
$\widehat{MBH}=\widehat{MCI}\quad (3)$ (cùng chắn $\mathop{MC}\limits^{\displaystyle\frown}$)
Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{MKH}=\widehat{MHI}$
Hoàn toàn tương tự, ta được:
$\widehat{MHK}=\widehat{MIH}$
Xét $\triangle MHK$ và $\triangle MIH$ có:
$\begin{cases}\widehat{MKH}=\widehat{MHI}\quad (cmt)\\\widehat{MHK}=\widehat{MIH}\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle MHK\backsim \triangle MIH\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{MH}{MI}=\dfrac{MK}{MH}$
$\Rightarrow MH^2 = MI.MK$
c) Ta có:
$PB,\ PM$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,\ M$
$\Rightarrow PB = PM$
$QC,\ QM$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C,\ M$
$\Rightarrow QC = QM$
Khi đó:
$\quad P_{APQ}= AP + PQ + AQ$
$\Leftrightarrow P_{APQ}= AP + PM + QM + AQ$
$\Leftrightarrow P_{APQ}= AP+ PB + QC + AQ$
$\Leftrightarrow P_{APQ}= AB + AC$ (không phụ thuộc $M$)
