Lời giải:
a) Ta có:
$MA;\, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A;\, B\quad (gt)$
$\to \begin{cases}OA\perp MA\\OB\perp MB\end{cases}$
$\to \widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90^\circ$
Xét tứ giác $MAOB$ có:
$ \widehat{OAM} + \widehat{OBM} = 180^\circ$
Do đó $MAOB$ là tứ giác nội tiếp
Mặt khác:
$MA;\, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A;\, B\quad (gt)$
$\to MA = MB$
Lại có: $OA = OB = R$
$\to MO$ là trung trực của $AB$
$\to MO\perp AB$
b) Xét $ΔMAC$ và $ΔMDA$ có:
$\left.\begin{array}{l}\widehat{M}:\quad \text{góc chung}\\\widehat{MAC} = \widehat{MDA}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\end{array}\right\}$
Do đó: $ΔMAC\sim ΔMDA\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{MA}{MD} = \dfrac{AC}{AD}$
$\Rightarrow MA.AD = MD.AC$
c) Gọi $MO\cap AB = \{H\}$
$\to \widehat{H} = 90^\circ\quad (MO\perp AB)$
Ta có:
$I$ là trung điểm dây cung $CD\quad (gt)$
$\to OI\perp CD$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)
$\to \widehat{I} = 90^\circ$
Xét $ ΔOHE$ và $ ΔOIM$ có:
$\left.\begin{array}{l}\widehat{O}:\quad \text{góc chung}\\\widehat{H} = \widehat{I}= 90^\circ\end{array}\right\}$
Do đó: $ ΔOHE\sim ΔOIM\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{OH}{OI} = \dfrac{OE}{OM}$
$\Rightarrow OE = \dfrac{OH.OM}{OI}$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ ΔOAM$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$OH.OM = OA^2 = R^2$
Do đó:
$OE = \dfrac{OA^2}{OI} = \dfrac{R^2}{\dfrac{R}{3}}$
$\Rightarrow OE = 3R$
