Bài làm:
Bài 1:
a) Tổng số sách là:
$10 + 8 + 6 = 24$ (quyển)
Số cách chọn 1 quyển sách là: $C_{24}^1 = 24$ (cách)
b) Số cách chọn 1 quyển sách TV là: $C_{10}^1 = 10$ cách
Số cách chọn 1 quyển sách TA là: $C_8^1 = 8$ cách
Số cách chọn 1 quyển sách TP là: $C_6^1 = 6$ cách
Số cách chọn 3 quyển sách với 3 thứ tiếng khác nhau là
$10.8.6 = 480$ cách
c) Trường hợp 1: hai quyển sách được chọn là sách tiếng Việt và sách tiếng Anh có:
$C_{10}^1.C_8^1$ (cách)
Trường hợp 2: hai quyển sách được chọn là sách tiếng Anh và sách tiếng Pháp có:
$C_8^1.C_6^1$ (cách)
Trường hợp 2: hai quyển sách được chọn là sách tiếng Việt và sách tiếng Pháp có:
$C_{10}^1.C_6^1$ cách
Vậy số cách chọn 2 quyển sách hai thứ tiếng khác nhau là:
$C_{10}^1.C_8^1+C_8^1.C_6^1+C_{10}^1.C_6^1=188$ cách
Bài 2:
a) Số cách đi vào chợ là: 4 cách
Số cách đi ra chợ là: 4 cách
Vậy số cách đi vào và đi ra chợ là: 4.4=16 cách
b) Số cách đi vào chợ là: 4 cách
Số cách đi ra chợ mà không đi qua cửa lúc vào là: 3 cách
Vậy số cách đi vào chợ mà vào và ra bằng hai cổng khác nhau là: 4.3 = 12 cách
Bài 3:
Số cách chọn 1 vở kịch là: 2 cách
Số cách chọn 1 điệu múa là: 3 cách
Số cách chọn 1 bài hát là: 6 cách
Vậy số cách chọn chương trình là:
$6.3.2 = 36$ cách
Bài 4:
a) Số cách chọn áo là 7 cách
Số cách chọn cà vạt là 5 cách
Vậy số cách chọn áo và cà vạt là: 7.5=35 cách
b) Trường hợp 1: Chọn áo trắng và cà vạt không phải màu vàng
Số cách chọn áo trắng là 3 cách
Số cách chọn cà vạt không phải màu vàng là 3 cách
Nên trường hợp này có 3.3=9 cách
Trường hợp 2: Chọn áo không phải áo trắng và chọn cà vạt bất kỳ
Số cách chọn áo không phải áo trắng là 4 cách
Số cách chọn cà vạt là 5 cách
Trường hợp này có 4.5=20 cách
Vậy số cách chọn áo và cà vạt mà đã là áo trắng thì không được chọn cà vạt màu vàng là:
$9+20=29$ cách
Cách 2:
Trường hợp chọn áo trắng và cà vạt vàng có:
$3.2=6$ cách
Như vậy trường hợp chọn áo và cà vạt mà áo trắng thì không được chọn cà vạt vàng là:
35-6=29 cách
Bài 5:
a) Số cách xếp 5 em vào 1 toa là:
Chọn 1 toa trong 8 toa để xếp 5 em học sinh có 8 cách.
b) Xếp 5 học sinh vào 5 toa đầu mỗi toa 1 người có 5! cách
c) 5 học sinh lên 5 toa khác nhau là chọn 5 toa từ 8 toa, sau đó xếp 5 bạn vào 5 toa đó là chỉnh hợp
có $C_8^5$ cách
d) An và Bình cùng lên 1 toa có 1 cách, 3 bạn còn lại mỗi bạn có 8 cách chọn toa nên có tất cả:
$1.3^8$ cách
e) An và Bình cùng lên toa đầu có 1 cách, 3 bạn còn lại mỗi bạn có 7 cách chọn toa như vậy có tất cả $1.7^3$ cách
Bài 6:
Tổng số hoa là: $5 + 6 + 7 = 18$ cách
Vậy số cách chọn lấy 1 bông hoa là 18 cách
Bài 7:
Số cách chọn người đầu tiên để ngồi là: 7 cách
Số cách chọn người thứ hai để ngồi là: 6 cách
Số cách chọn người thứ 3 để ngồi là: 5 cách
Số cách chọn người thứ 4 để ngồi là: 4 cách
Số cách chọn người ngồi cuối cùng là: 3 cách
Vậy số cách xếp 7 người vào 5 chỗ ngồi là
$7.6.5.4.3 = 2.520$ cách
Giải thích:
- Chọn k phần tử từ n phần tử của tập hợp A là tổ hợp chập k của n $C_n^k$
- Khi công việc hoàn thành bởi nhiều giai đoạn nhỏ thì dùng quy tắc nhân:
Ví dụ để chọn 3 quyển sách 3 thứ tiếng khác nhau, thì muốn hoàn thành công việc ta phải hoàn thành chọn 1 quyển sách tiếng Việt, chọn 1 quyển sách tiếng Anh, chọn 1 quyển sách tiếng Pháp nên bài tập này dùng quy tắc nhân.
Ví dụ đi từ nhà đến trường (A->B->C->D)
phải đi 3 đoạn AB, BC, CD mới hoàn thành công việc đến trường.
- Khi công việc hoàn thành bởi nhiều cách khác nhau ta dùng quy tắc cộng.
Ví dụ chọn 2 quyển sách hai thứ tiếng, thì ta có thể chọn 2 quyển sách đó là tiếng Việt và tiếng Anh, Hoặc 2 quyển sách đó là Tiếng Anh và tiếng Pháp hoặc 2 quyển sách đó là tiếng Việt và tiếng Pháp.
Ví dụ từ nhà đến trường có nhiều cách đi hoặc là đi hướng ABCD hoặc là đi hướng AEFD.
- Tập A có n phần tử, mỗi cách xếp n phần tử của tập hợp A là 1 hoán vị và có n! cách xếp n phần tử của tập A
