Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
Bước 1: Bình phương điều kiện \(x + y + z = 0\) được \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = - \left( {2xy + 2yz + 2zx} \right)\)
Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức phá ngoặc ở mẫu thức.
Bước 3: Thế biểu thức đã biến đổi được ở trên vào mẫu và rút gọn biểu thức.Giải chi tiết:Điều kiện: \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne y \ne z.\)
Ta có:
\(x + y + z = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = - \left( {2xy + 2yz + 2zx} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + {x^2} + {y^2} + {z^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}} = \dfrac{1}{3}.\end{array}\)
Vậy \(A = \dfrac{1}{3}\).
Chọn C.
