Đáp án:
Nếu $2 \leq x < 4$ thì $Q=2\sqrt{x-2}$
Nếu $x \geq 4$ thì $Q=2\sqrt{2}$
Giải thích các bước giải:
$Q=\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}-\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$ $(*)$
$\text{ĐKXĐ: $\begin{cases}2x-4 \geq 0\\x+2\sqrt{2x-4} \geq 0\\x-2\sqrt{2x-4} \geq 0\end{cases}$}$
$⇔ \begin{cases}x \geq 2\\x \geq 2\sqrt{2x-4}\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}x \geq 2\\x^2-4x+8 \geq 0\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}x \geq 2\\(x-2)^2+4 \geq 0\end{cases}$
$⇔ x \geq 2$ $\text{(Vì $(x-2)^2+4 \geq 4$ nên luôn đúng)}$
$(*) ⇔ Q^2=x+2\sqrt{2x-4}+x-2\sqrt{2x-4}-2\sqrt{(x+2\sqrt{2x-4})(x-2\sqrt{2x-4})}$
$⇔ Q^2=2x-2\sqrt{x^2-4(2x-4)}$
$⇔ Q^2=2x-2\sqrt{x^2-8x+16}$
$⇔ Q^2=2x-2\sqrt{(x-4)^2}$
$⇔ Q^2=2x-2|x-4|$
$\text{Nếu $2 \leq x < 4$ thì:}$
$Q^2=2x+2(x-4)=4x-8$
$⇔ Q=\sqrt{4x-8}=2\sqrt{x-2}$
$\text{Nếu $x \geq 4$ thì:}$
$Q^2=2x-2(x-4)=8$
$⇔ Q=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$\text{Vậy nếu $2 \leq x < 4$ thì $Q=2\sqrt{x-2}$}$
$\text{nếu $x \geq 4$ thì $Q=2\sqrt{2}$}$
